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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Étude d'une fonction à l'aide d'une fonction annexe

Partie A

Soit la fonction g g définie sur R \mathbb{R} par :

g(x)=2x3+2x2−1. g (x) =2x^{ 3 } +2x^2 - 1.

  1. Étudier les variations de la fonction g g sur R. \mathbb{R} .

  2. Calculer g(0) g (0) et g(1). g (1).
    On admet que l'équation g(x)=0 g (x) =0 admet une unique solution x0 x_{ 0 } sur R \mathbb{R}.
    Justifier que x0∈]0;1[ x_{ 0 } \in \left] 0 ; 1 \right[.

  3. Déterminer le signe de g(x) g (x) sur R \mathbb{R}.

  4. On considère le programme Python ci-dessous : 

    def g(x) :
    return 2*x**3 + 2*x**2 - 1
def solution() :
    x = 0
    y = g(x)
    while y < 0 :
        x = x + 0.01
        y = g(x)
    return x
    L'appel de la fonction solution() définie ci-dessus retourne 0.57.

    donner un encadrement d'amplitude 0,01 de x0. x_{ 0 }.

Partie b

On considère la fonction f f définie sur R\{0} \mathbb{R} \backslash \{ 0 \} par :

f(x)=x3+2x2+1x. f (x) = \frac{ x^{ 3 } +2x^2 +1 }{ x } .

  1. Montrer que pour tout réel x x non nul :

    f′(x)=g(x)x2. f^{\prime} (x)= \frac{ g (x) }{ x^2 } .

  2. Dresser le tableau de variations de f f sur R. \mathbb{R} . (On ne cherchera pas à déterminer la valeur de l’extremum de cette fonction.)

Corrigé

Partie A

  1. La fonction g g est une fonction polynôme, donc, elle est dérivable sur R \mathbb{R} et :

    g′(x)=2×3x2+2×2x=6x2+4x g^{\prime} (x) =2 \times 3x^2+2 \times 2x=6x^2 +4x=2x(3x+2).=2x (3x+2).

    g′ g^{\prime} possède donc 2 racines : x1=0 x_{ 1 } =0 et x2=−23. x_{ 2 } = - \frac{ 2 }{ 3 } .

    Le coefficient du terme du second degré est positif donc g′ g^{\prime} est négative entre −23 - \frac{ 2 }{ 3 } et 0 0 et est positive à l'extérieur de ces racines.

    g(0)=−1 g (0) = - 1

    g(−23)=2×(−23)3 g \left( - \frac{ 2 }{ 3 } \right) =2 \times \left( - \frac{ 2 }{ 3 } \right) ^{3}+2×(−23)2−1 +2 \times \left( - \frac{ 2 }{ 3 } \right) ^2 - 1=−1927.= - \frac{ 19 }{ 27 } .

    On peut alors dresser le tableau de variations de g g  :

    tableau de variations de la fonction

  2. On a déjà calculé g(0)=−1 g (0) = - 1 qui est strictement négatif.
    g(1)=3 g (1) =3 est strictement positif.
    g g change de signe entre 0 0 et 1 1 donc s'annule pour un nombre x0 x_{ 0 } appartenant à l'intervalle ]0;1[. \left] 0 ; 1 \right[ .

    Remarque : Une démonstration plus rigoureuse nécessiterait l'emploi du théorème des valeurs intermédiaires qui n'est pas au programme de Première. Ici, seule une justification était demandée.

  3. D'après le tableau de variations, g g est négative sur l'intervalle ]−∞;0] \left] - \infty ; 0 \right] .
    D'après la question précédente, g g est également négative sur l'intervalle [0;x0[ \left[ 0 ; x_{ 0 } \right[ mais positive sur l'intervalle ]x0;+∞[. \left] x_{ 0 } ; + \infty \right[.

    Le tableau de signes de g g est donc le suivant :

    Exemple tableau de signe 1

  4. La fonction « solution ()  » calcule les valeurs de g(x) g (x) pour x x partant de 0 0 et augmentant par pas de 0,01.0,01.

    La boucle « while » s'arrête dès que g(x)⩾0 g (x) \geqslant 0 et la fonction renvoie alors la valeur de la variable x. x.
    Ce nombre retourné est donc le plus petit nombre de deux décimales tel que g(x)⩾0. g (x) \geqslant 0.

    Ce nombre étant égal à 0,57 0,57 d'après l'énoncé, on a donc g(0,57)⩾0 g (0,57) \geqslant 0 mais g(0,56)<0. g (0,56) < 0.

    Par conséquent : 0,56<x0⩽0,57. 0,56 < x_{ 0 } \leqslant 0,57.

Partie B

  1. Posons : u(x)=x3+2x2+1 u (x) =x^3 +2x^{ 2 } +1 et v(x)=x v (x) =x .

    Alors : u′(x)=3x2+4x u^{\prime} (x) =3x^2 +4x et v′(x)=1 v^{\prime} (x) =1

    Donc :

    f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v(x)2 f^{\prime} (x) = \frac{ u^{\prime} (x) v (x) - u (x) v^{\prime} (x) }{ v (x) ^2 }

    f′(x)=x(3x2+4x)−(x3+2x2+1)x2\phantom{ f^{\prime} (x) } = \frac{ x (3x^2 +4x) - (x^{ 3 } +2x^2 +1) }{ x^2 }

    f′(x)=2x3+2x2−1x2\phantom{ f^{\prime} (x) } = \frac{ 2x^{ 3 } +2x^2 - 1 }{ x^2 }

    f′(x)=g(x)x2\phantom{ f^{\prime} (x) } = \frac{ g (x) }{ x^2 }

  2. x2 x^2 est toujours strictement positif sur R\{0}. \mathbb{R} \backslash \{ 0 \}.
    f′(x) f^{\prime} (x) est donc du signe de g(x) g (x) qui est donné par le tableau de la question a.3.
    Toutefois, f f n'est pas définie en 0. 0.

    On en déduit le tableau de variations de la fonction f f  :

    tableau de variations de la fonction

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