Partie 1

1. La courbe $F_1$ passe par le point $M(0;8)$ donc $f(0)=8$.

   La courbe $F_1$ passe par le point $N(12;6)$ donc $f(12)=6$.

   Rappel

   La tangente à $F_1$ au point d'abscisse $a$ est parallèle à l'axe des abscisses si et seulement si $f ^{\prime}(a)=0$

   La tangente à $F_1$ au point $M$ est parallèle à l'axe des abscisses donc $f ^{\prime}(0)=0$.

   La tangente à $F_1$ au point $N$ est parallèle à l'axe des abscisses donc $f ^{\prime}(12)=0$.

2. $f(0)=a\times 0^3+b \times 0^2+c \times 0+d=d$

   Donc d'après la question précédente $d=8$.

   De même :

   $f(12)=a\times 12^3+b \times 12^2+c \times 12+d$$=1728a+144b+12c+d$

   Donc $1728a+144b+12c+d=6$.

   $f ^{\prime}(x)=3ax^2+2bx+c$

   $f ^{\prime}(0)=3a \times 0^2+2b \times 0+c=c$

   Donc $c=0$.

   $f ^{\prime}(12)=3a \times 12^2+2b \times 12+c=432a+24b+c$

   Donc $432a+24b+c=0$.

   Le quadruplet $(a;b;c;d)$ est donc solution du système :

   $\begin{cases} d=8 \\ 1728a+144b+12c+d=6 \\ c=0 \\ 432a+24b+c=0 \end{cases}$

3. Les première et troisième équations donnent $c=0$ et $d=8$.

   En remplaçant $c$ par $0$ et $d$ par $8$ dans les deux autres équations on obtient :

   $(S) \ \begin{cases} 1728a+144b+8=6 \\ 432a+24b=0 \end{cases}$

   Ce système équivaut à :

   $(S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} 1728a+144b+8=6 \\ b= - 18a \end{cases}$ 

   $(S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} 1728a+144 \times ( - 18a)= - 2 \\ b= - 18a \end{cases}$ 

   $(S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} - 864a= - 2 \\ b= - 18a \end{cases}$  

   $(S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} a=\frac{2}{864} \\ \\ b= - 18 \times \frac{2}{864} \end{cases}$  

   $(S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} a=\frac{1}{432} \\ \\ b= - \frac{1}{24} \end{cases}$  

   Finalement $a=\frac{1}{432}, b= - \frac{1}{24}, c=0$ et $d=8$.

   Donc $f(x)=\frac{1}{432}x^3 - \frac{1}{24}x^2+8$.

Partie 2

1. Les coordonnées du point $I$ sont :

   $x_I=\frac{x_M+x_N}{2}=\frac{0+12}{2}=6$

   $y_I=\frac{y_M+y_N}{2}=\frac{8+6}{2}=7$

   Rappel

   Le point $I$ appartient à la courbe $F_1$ si et seulement si $f(x_I)=y_I$

   $f(6)=\frac{1}{432} \times 216 - \frac{1}{24} \times 36+8$$=0,5 - 1,5+8=7$

   $f(x_I)=y_I$ donc le milieu $I$ de $[MN]$ appartient à la courbe $F_1$.

2. L'équation réduite de la tangente à la courbe $F_1$ en $I$ est :

   $y=f ^{\prime}(6)(x - 6)+f(6)$

   $f ^{\prime}(x)=\frac{3}{432}x^2 - \frac{2}{24}x$$=\frac{x^2}{144} - \frac{x}{12}$

    

   $f^{\prime}(6)=\frac{36}{144} - \frac{6}{12}= - \frac{1}{4}$

   L'équation réduite de $(T)$ est donc :

   $y= - \frac{1}{4}(x - 6) - 7$

    

   $y= - \frac{1}{4}x+\frac{17}{2}$

   

Partie 3

1. On "découpe" l'aire $\mathscr A$ en quatre aires :

   • l'aire $\mathscr A_1$ du demi-disque de rayon $[OM]$

   • l'aire $\mathscr A_2$ du demi-disque de rayon $[PN]$

   • l'aire $\mathscr A_3$ du trapèze $OMNP$ et du trapèze symétrique par rapport à l'axe des abscisses.

   $\mathscr A_1=\frac{1}{2}\pi OM^2=32\pi$

   $\mathscr A_2=\frac{1}{2}\pi PN^2=18\pi$

   Rappel

   L'aire d'un trapèze de bases $b$ et $B$ et de hauteur $h$ est $\mathscr A=\frac{b+B}{2} \times h$

   $\mathscr A_3=\frac{8+6}{2} \times 12$

   $\phantom{\mathscr A_3}=7 \times 12$

   $\phantom{\mathscr A_3}=84$

   L'aire totale est donc :

   $\mathscr A=\mathscr A_1+\mathscr A_2+2 \times \mathscr A_3$

   $\phantom{\mathscr A}=50\pi+168 \approx 325 \text{m}^2$

2. Le volume d'eau de la piscine est :

   $\mathscr V = 1,5 \times \mathscr A \approx 488 \text{m}^3$