Fonctions - Contour d'une piscine
Pour les besoins d'un centre de loisirs, un architecte élabore les plans d'une future piscine carrelée.
Le graphique ci-dessous présente le contour de cette piscine dans un repère orthonormé ( O , I , J ) (O,I,J) ( O , I , J ) d'unité 1 mètre.
C 1 C_1 C 1 est un demi-cercle de centre O O O et de rayon 8 8 8 ;
C 2 C_2 C 2 est un demi-cercle de centre P ( 1 2 ; 0 ) P(12 ; 0) P ( 1 2 ; 0 ) et de rayon 6 6 6 . Les courbes F 1 F_1 F 1 et F 2 F_2 F 2 relient ces deux demi-cercles.
Le contour de la piscine est symétrique par rapport à l'axe des abscisses. On suppose, par ailleurs, que les tangentes à la courbe F 1 F_1 F 1 aux points M ( 0 ; 8 ) M(0;8) M ( 0 ; 8 ) et N ( 1 2 ; 6 ) N(12;6) N ( 1 2 ; 6 ) sont parallèles à l'axe des abscisses.
Partie 1
La courbe F 1 F_1 F 1 est la représentation graphique d'une fonction f f f définie sur [ 0 ; 1 2 ] [0;12] [ 0 ; 1 2 ] .
Quelles sont les valeurs de f ( 0 ) f(0) f ( 0 ) , f ( 1 2 ) f(12) f ( 1 2 ) , f ′ ( 0 ) f^{\prime}(0) f ′ ( 0 ) , f ′ ( 1 2 ) f^{\prime}(12) f ′ ( 1 2 ) ?
f f f est définie sur [ 0 ; 1 2 ] [0;12] [ 0 ; 1 2 ] par f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d f(x)=ax^3+bx^2+cx+d f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d .
Déduire de la question précédente un système de quatre équations à quatre inconnues vérifié par ( a ; b ; c ; d ) (a;b;c;d) ( a ; b ; c ; d ) .
En déduire les valeurs de a , b , c a, b, c a , b , c et d d d .
Partie 2
Dans la suite du problème on suppose que f f f est définie sur [ 0 ; 1 2 ] [0;12] [ 0 ; 1 2 ] par f ( x ) = 1 4 3 2 x 3 − 1 2 4 x 2 + 8 f(x)=\frac{1}{432}x^3 - \frac{1}{24}x^2+8 f ( x ) = 4 3 2 1 x 3 − 2 4 1 x 2 + 8 .
Montrer que le milieu I I I de [ M N ] [MN] [ M N ] appartient à la courbe F 1 F_1 F 1
Donner une équation de la tangente ( T ) (T) ( T ) à la courbe F 1 F_1 F 1 au point I I I .
Partie 3
Dans le but de carreler le fond de la piscine, l'architecte cherche à estimer l'aire A \mathscr A A de la surface située à l'intérieur de ce contour.
On admet que l'aire de la surface délimitée par la courbe F 1 F_1 F 1 et les segments [ O M ] , [ O P ] , [ P N ] [OM], [OP], [PN] [ O M ] , [ O P ] , [ P N ] est égale à l'aire du trapèze O M N P OMNP O M N P .
Calculer l'aire A \mathscr A A en m 2 \text{m}^2 m 2 (on arrondira au m 2 \text{m}^2 m 2 près).
La profondeur de la piscine sera constante et égale à 1 , 5 m 1,5\text{m} 1 , 5 m .
Quel sera, en m 3 \text{m}^3 m 3 , le volume d'eau de la piscine ?
Partie 1
La courbe F 1 F_1 F 1 passe par le point M ( 0 ; 8 ) M(0;8) M ( 0 ; 8 ) donc f ( 0 ) = 8 f(0)=8 f ( 0 ) = 8 .
La courbe F 1 F_1 F 1 passe par le point N ( 1 2 ; 6 ) N(12;6) N ( 1 2 ; 6 ) donc f ( 1 2 ) = 6 f(12)=6 f ( 1 2 ) = 6 .
Rappel
La tangente à F 1 F_1 F 1 au point d'abscisse a a a est parallèle à l'axe des abscisses si et seulement si f ′ ( a ) = 0 f ^{\prime}(a)=0 f ′ ( a ) = 0
La tangente à F 1 F_1 F 1 au point M M M est parallèle à l'axe des abscisses donc f ′ ( 0 ) = 0 f ^{\prime}(0)=0 f ′ ( 0 ) = 0 .
La tangente à F 1 F_1 F 1 au point N N N est parallèle à l'axe des abscisses donc f ′ ( 1 2 ) = 0 f ^{\prime}(12)=0 f ′ ( 1 2 ) = 0 .
f ( 0 ) = a × 0 3 + b × 0 2 + c × 0 + d = d f(0)=a\times 0^3+b \times 0^2+c \times 0+d=d f ( 0 ) = a × 0 3 + b × 0 2 + c × 0 + d = d
Donc d'après la question précédente d = 8 d=8 d = 8 .
De même :
f ( 1 2 ) = a × 1 2 3 + b × 1 2 2 + c × 1 2 + d f(12)=a\times 12^3+b \times 12^2+c \times 12+d f ( 1 2 ) = a × 1 2 3 + b × 1 2 2 + c × 1 2 + d = 1 7 2 8 a + 1 4 4 b + 1 2 c + d =1728a+144b+12c+d = 1 7 2 8 a + 1 4 4 b + 1 2 c + d
Donc 1 7 2 8 a + 1 4 4 b + 1 2 c + d = 6 1728a+144b+12c+d=6 1 7 2 8 a + 1 4 4 b + 1 2 c + d = 6 .
f ′ ( x ) = 3 a x 2 + 2 b x + c f ^{\prime}(x)=3ax^2+2bx+c f ′ ( x ) = 3 a x 2 + 2 b x + c
f ′ ( 0 ) = 3 a × 0 2 + 2 b × 0 + c = c f ^{\prime}(0)=3a \times 0^2+2b \times 0+c=c f ′ ( 0 ) = 3 a × 0 2 + 2 b × 0 + c = c
Donc c = 0 c=0 c = 0 .
f ′ ( 1 2 ) = 3 a × 1 2 2 + 2 b × 1 2 + c = 4 3 2 a + 2 4 b + c f ^{\prime}(12)=3a \times 12^2+2b \times 12+c=432a+24b+c f ′ ( 1 2 ) = 3 a × 1 2 2 + 2 b × 1 2 + c = 4 3 2 a + 2 4 b + c
Donc 4 3 2 a + 2 4 b + c = 0 432a+24b+c=0 4 3 2 a + 2 4 b + c = 0 .
Le quadruplet ( a ; b ; c ; d ) (a;b;c;d) ( a ; b ; c ; d ) est donc solution du système :
{ d = 8 1 7 2 8 a + 1 4 4 b + 1 2 c + d = 6 c = 0 4 3 2 a + 2 4 b + c = 0 \begin{cases} d=8 \\ 1728a+144b+12c+d=6 \\ c=0 \\ 432a+24b+c=0 \end{cases} ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ d = 8 1 7 2 8 a + 1 4 4 b + 1 2 c + d = 6 c = 0 4 3 2 a + 2 4 b + c = 0
Les première et troisième équations donnent c = 0 c=0 c = 0 et d = 8 d=8 d = 8 .
En remplaçant c c c par 0 0 0 et d d d par 8 8 8 dans les deux autres équations on obtient :
( S ) { 1 7 2 8 a + 1 4 4 b + 8 = 6 4 3 2 a + 2 4 b = 0 (S) \ \begin{cases} 1728a+144b+8=6 \\ 432a+24b=0 \end{cases} ( S ) { 1 7 2 8 a + 1 4 4 b + 8 = 6 4 3 2 a + 2 4 b = 0
Ce système équivaut à :
( S ) ⇔ { 1 7 2 8 a + 1 4 4 b + 8 = 6 b = − 1 8 a (S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} 1728a+144b+8=6 \\ b= - 18a \end{cases} ( S ) ⇔ { 1 7 2 8 a + 1 4 4 b + 8 = 6 b = − 1 8 a
( S ) ⇔ { 1 7 2 8 a + 1 4 4 × ( − 1 8 a ) = − 2 b = − 1 8 a (S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} 1728a+144 \times ( - 18a)= - 2 \\ b= - 18a \end{cases} ( S ) ⇔ { 1 7 2 8 a + 1 4 4 × ( − 1 8 a ) = − 2 b = − 1 8 a
( S ) ⇔ { − 8 6 4 a = − 2 b = − 1 8 a (S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} - 864a= - 2 \\ b= - 18a \end{cases} ( S ) ⇔ { − 8 6 4 a = − 2 b = − 1 8 a
( S ) ⇔ { a = 2 8 6 4 b = − 1 8 × 2 8 6 4 (S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} a=\frac{2}{864} \\ \\ b= - 18 \times \frac{2}{864} \end{cases} ( S ) ⇔ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ a = 8 6 4 2 b = − 1 8 × 8 6 4 2
( S ) ⇔ { a = 1 4 3 2 b = − 1 2 4 (S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} a=\frac{1}{432} \\ \\ b= - \frac{1}{24} \end{cases} ( S ) ⇔ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ a = 4 3 2 1 b = − 2 4 1
Finalement a = 1 4 3 2 , b = − 1 2 4 , c = 0 a=\frac{1}{432}, b= - \frac{1}{24}, c=0 a = 4 3 2 1 , b = − 2 4 1 , c = 0 et d = 8 d=8 d = 8 .
Donc f ( x ) = 1 4 3 2 x 3 − 1 2 4 x 2 + 8 f(x)=\frac{1}{432}x^3 - \frac{1}{24}x^2+8 f ( x ) = 4 3 2 1 x 3 − 2 4 1 x 2 + 8 .
Partie 2
Les coordonnées du point I I I sont :
x I = x M + x N 2 = 0 + 1 2 2 = 6 x_I=\frac{x_M+x_N}{2}=\frac{0+12}{2}=6 x I = 2 x M + x N = 2 0 + 1 2 = 6
y I = y M + y N 2 = 8 + 6 2 = 7 y_I=\frac{y_M+y_N}{2}=\frac{8+6}{2}=7 y I = 2 y M + y N = 2 8 + 6 = 7
Rappel
Le point I I I appartient à la courbe F 1 F_1 F 1 si et seulement si f ( x I ) = y I f(x_I)=y_I f ( x I ) = y I
f ( 6 ) = 1 4 3 2 × 2 1 6 − 1 2 4 × 3 6 + 8 f(6)=\frac{1}{432} \times 216 - \frac{1}{24} \times 36+8 f ( 6 ) = 4 3 2 1 × 2 1 6 − 2 4 1 × 3 6 + 8 = 0 , 5 − 1 , 5 + 8 = 7 =0,5 - 1,5+8=7 = 0 , 5 − 1 , 5 + 8 = 7
f ( x I ) = y I f(x_I)=y_I f ( x I ) = y I donc le milieu I I I de [ M N ] [MN] [ M N ] appartient à la courbe F 1 F_1 F 1 .
L'équation réduite de la tangente à la courbe F 1 F_1 F 1 en I I I est :
y = f ′ ( 6 ) ( x − 6 ) + f ( 6 ) y=f ^{\prime}(6)(x - 6)+f(6) y = f ′ ( 6 ) ( x − 6 ) + f ( 6 )
f ′ ( x ) = 3 4 3 2 x 2 − 2 2 4 x f ^{\prime}(x)=\frac{3}{432}x^2 - \frac{2}{24}x f ′ ( x ) = 4 3 2 3 x 2 − 2 4 2 x = x 2 1 4 4 − x 1 2 =\frac{x^2}{144} - \frac{x}{12} = 1 4 4 x 2 − 1 2 x
f ′ ( 6 ) = 3 6 1 4 4 − 6 1 2 = − 1 4 f^{\prime}(6)=\frac{36}{144} - \frac{6}{12}= - \frac{1}{4} f ′ ( 6 ) = 1 4 4 3 6 − 1 2 6 = − 4 1
L'équation réduite de ( T ) (T) ( T ) est donc :
y = − 1 4 ( x − 6 ) − 7 y= - \frac{1}{4}(x - 6) - 7 y = − 4 1 ( x − 6 ) − 7
y = − 1 4 x + 1 7 2 y= - \frac{1}{4}x+\frac{17}{2} y = − 4 1 x + 2 1 7
Partie 3
On "découpe" l'aire A \mathscr A A en quatre aires :
l'aire A 1 \mathscr A_1 A 1 du demi-disque de rayon [ O M ] [OM] [ O M ]
l'aire A 2 \mathscr A_2 A 2 du demi-disque de rayon [ P N ] [PN] [ P N ]
l'aire A 3 \mathscr A_3 A 3 du trapèze O M N P OMNP O M N P et du trapèze symétrique par rapport à l'axe des abscisses.
A 1 = 1 2 π O M 2 = 3 2 π \mathscr A_1=\frac{1}{2}\pi OM^2=32\pi A 1 = 2 1 π O M 2 = 3 2 π
A 2 = 1 2 π P N 2 = 1 8 π \mathscr A_2=\frac{1}{2}\pi PN^2=18\pi A 2 = 2 1 π P N 2 = 1 8 π
Rappel
L'aire d'un trapèze de bases b b b et B B B et de hauteur h h h est A = b + B 2 × h \mathscr A=\frac{b+B}{2} \times h A = 2 b + B × h
A 3 = 8 + 6 2 × 1 2 \mathscr A_3=\frac{8+6}{2} \times 12 A 3 = 2 8 + 6 × 1 2
A 3 = 7 × 1 2 \phantom{\mathscr A_3}=7 \times 12 A 3 = 7 × 1 2
A 3 = 8 4 \phantom{\mathscr A_3}=84 A 3 = 8 4
L'aire totale est donc :
A = A 1 + A 2 + 2 × A 3 \mathscr A=\mathscr A_1+\mathscr A_2+2 \times \mathscr A_3 A = A 1 + A 2 + 2 × A 3
A = 5 0 π + 1 6 8 ≈ 3 2 5 m 2 \phantom{\mathscr A}=50\pi+168 \approx 325 \text{m}^2 A = 5 0 π + 1 6 8 ≈ 3 2 5 m 2
Le volume d'eau de la piscine est :
V = 1 , 5 × A ≈ 4 8 8 m 3 \mathscr V = 1,5 \times \mathscr A \approx 488 \text{m}^3 V = 1 , 5 × A ≈ 4 8 8 m 3
ePrivacy and GPDR Cookie Consent by Cookie Consent