Nombre dérivé

Soit la fonction $f$ de courbe $\mathscr{C}_f$ représentée ci-dessous et $\mathscr{T}$ la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point de coordonnées $\left( 0~;~3 \right) .$

$représentation graphique de la fonction$

$f^{\prime}(0)= - 1$

VRAI FAUX

1^re - Nombre dérivé3

Réponse Question suivante

1^re - Nombre dérivé3

Explications Question suivante

1^re - Nombre dérivé3

C'est vrai.

Le nombre dérivé $f^{\prime}(0)$ est égal au coefficient directeur de la tangente $\mathscr{T}.$

Par lecture graphique, on voit que ce coefficient directeur vaut $- 1.$

Énoncé Question suivante

1^re - Nombre dérivé4

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)= x^2+x.$

Pour calculer $f^{\prime}(0)$ un élève a effectué le calcul suivant :

$f^{\prime}(0)= \lim\limits_{ h \rightarrow 0 } \frac{ f(h) - f(0) }{ h }$

$\phantom{ f^{\prime}(0)} = \lim\limits_{ h \rightarrow 0 } \frac{ h^2+h - 0 }{ h }$

$\phantom{ f^{\prime}(0)} = \lim\limits_{ h \rightarrow 0 } \frac{ h(h+1) }{ h }$

$\phantom{ f^{\prime}(0)} = \lim\limits_{ h \rightarrow 0 } h + 1 = 1.$

Ce calcul est correct.

VRAI FAUX

1^re - Nombre dérivé4

Réponse Question suivante

1^re - Nombre dérivé4

Explications Question suivante

1^re - Nombre dérivé4

C'est vrai.

L'élève a utilisé la définition du nombre dérivé :

$f^{\prime}(a) = \lim\limits_{ h \rightarrow 0 } \frac{ f(a+h) - f(a) }{ h }.$

Énoncé Question suivante

1^re - Nombre dérivé5

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=x^3+1$

Le taux d'accroissement (ou taux de variation) de $f$ entre $- 1$ et $1$ est égal à $\frac{ 1 }{ 2 }$

VRAI FAUX

1^re - Nombre dérivé5

Réponse Question suivante

1^re - Nombre dérivé5

Explications Question suivante

1^re - Nombre dérivé5

C'est faux.

Le taux d'accroissement de $f$ entre $- 1$ et $1$ est égal à :

$t = \frac{ f(1) - f( - 1)}{ 1 - ( - 1) }$

$\phantom{ t } = \frac{ 1^3+1 - \left( ( - 1)^3 +1 \right) }{ 2 }$

$\phantom{ t } = \frac{ 2 - 0 }{ 2 } = 1$

Énoncé Question suivante

1^re - Nombre dérivé6

Soit une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ telle que $f(0)=1$ et $f^{\prime}(0)=0.$

La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $0$ a pour équation $y=x.$

VRAI FAUX

1^re - Nombre dérivé6

Réponse Bilan

1^re - Nombre dérivé6

Explications Bilan

1^re - Nombre dérivé6

C'est faux.

La formule donnant l’équation réduite de la tangente au point d'abscisse $0$ est :

$y=f^{\prime}(0)(x - 0)+f(0)$

ce qui donne ici :

$y=1$

Il s'agit d'une droite parallèle à l'axe des abscisses.

Énoncé Bilan

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