Famille de fonctions
On considère les fonctions f n f_n f n R \ { 1 } \mathbb{R} \backslash \{1\} R \ { 1 }
f n ( x ) = 1 − n x x − 1 f_n(x)=\frac{1 - nx}{x - 1} f n ( x ) = x − 1 1 − n x
où n n n
On note ( C n ) (C_n) ( C n ) f n f_n f n ( O ; I , J ) (O;I,J) ( O ; I , J )
Montrer que pour tout entier n n n ( C n ) (C_n) ( C n ) A ( 0 ; − 1 ) A(0; - 1) A ( 0 ; − 1 )
Caractériser la courbe ( C 1 ) (C_{1}) ( C 1 ) f 1 f_{1} f 1
Déterminer, suivant les valeurs de n n n f n f_n f n
Tracer les courbes ( C 0 ) (C_{0}) ( C 0 ) ( C 1 ) (C_{1}) ( C 1 ) ( C 2 ) (C_{2}) ( C 2 )
On note ( T n ) (T_n) ( T n ) ( C n ) (C_{n}) ( C n ) A A A
Donner les équations des droites ( T 0 ) (T_{0}) ( T 0 ) ( T 2 ) (T_{2}) ( T 2 )
Rappel
Pour montrer que la courbe représentative d'une fonction f f f A ( x A ; y A ) A(x_A;y_A) A ( x A ; y A ) f ( x A ) = y A f(x_A)=y_A f ( x A ) = y A
Pour tout entier n n n
f n ( 0 ) = 1 − n × 0 0 − 1 = 1 − 1 = − 1 f_n(0)=\frac{1 - n \times 0}{0 - 1}=\frac{1}{ - 1}= - 1 f n ( 0 ) = 0 − 1 1 − n × 0 = − 1 1 = − 1
Donc la courbe ( C n ) (C_n) ( C n ) A A A A ( 0 ; − 1 ) A(0; - 1) A ( 0 ; − 1 )
Pour n = 1 n=1 n = 1 x ∈ R \ { 1 } x \in \mathbb{R} \backslash \{1\} x ∈ R \ { 1 }
f 1 ( x ) = 1 − x x − 1 = = − ( x − 1 ) x − 1 = − 1 f_1(x)=\frac{1 - x}{x - 1}==\frac{ - (x - 1)}{x - 1}= - 1 f 1 ( x ) = x − 1 1 − x = = x − 1 − ( x − 1 ) = − 1
La fonction f 1 f_1 f 1 − 1 - 1 − 1 R \ { 1 } \mathbb{R} \backslash \{1\} R \ { 1 }
Il faut toutefois faire attention au fait que f 1 f_1 f 1 x = 1 x=1 x = 1 ( C 1 ) (C_1) ( C 1 ) A ( 0 ; − 1 ) A(0; - 1) A ( 0 ; − 1 ) 1 1 1 4. ).
f n f_n f n
f n f_n f n u v \frac{u}{v} v u
u ( x ) = 1 − n x u(x)=1 - nx u ( x ) = 1 − n x u ′ ( x ) = − n u^{\prime}(x)= - n u ′ ( x ) = − n
v ( x ) = x − 1 v(x)=x - 1 v ( x ) = x − 1 v ′ ( x ) = 1 v^{\prime}(x)=1 v ′ ( x ) = 1
On obtient alors :
f ′ ( x ) = u ′ ( x ) v ( x ) − u ( x ) v ( x ) ′ v ( x ) 2 f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x)v(x) - u(x)v(x)^{\prime}}{v(x)^2} f ′ ( x ) = v ( x ) 2 u ′ ( x ) v ( x ) − u ( x ) v ( x ) ′ = − n ( x − 1 ) − ( 1 − n x ) ( x − 1 ) 2 = n − 1 ( x − 1 ) 2 =\frac{ - n(x - 1) - (1 - nx)}{(x - 1)^2}=\frac{n - 1}{(x - 1)^2} = ( x − 1 ) 2 − n ( x − 1 ) − ( 1 − n x ) = ( x − 1 ) 2 n − 1
f ′ f^{\prime} f ′ n − 1 n - 1 n − 1
si n < 1 n < 1 n < 1 f ′ f^{\prime} f ′ R \ { 1 } \mathbb{R} \backslash \{1\} R \ { 1 } f f f décroissante sur ] − ∞ ; 1 [ ] - \infty ; 1[ ] − ∞ ; 1 [ ] 1 ; + ∞ [ ]1 ; +\infty[ ] 1 ; + ∞ [
si n > 1 n > 1 n > 1 f ′ f^{\prime} f ′ R \ { 1 } \mathbb{R} \backslash \{1\} R \ { 1 } f f f croissante sur ] − ∞ ; 1 [ ] - \infty ; 1[ ] − ∞ ; 1 [ ] 1 ; + ∞ [ ]1 ; +\infty[ ] 1 ; + ∞ [
si n = 1 n=1 n = 1 f f f R \ { 1 } \mathbb{R} \backslash \{1\} R \ { 1 }
Voir graphique ci-dessous.
L'équation de la tangente à ( C 0 ) (C_0) ( C 0 ) A A A 0 0 0
y = f 0 ′ ( 0 ) ( x − 0 ) + f 0 ( 0 ) y=f_0^{\prime}(0)(x - 0)+f_0(0) y = f 0 ′ ( 0 ) ( x − 0 ) + f 0 ( 0 )
Or f 0 ( 0 ) = − 1 f_0(0)= - 1 f 0 ( 0 ) = − 1 1. )
et f 0 ′ ( x ) = − 1 ( x − 1 ) 2 f_0^{\prime}(x)= - \frac{1}{(x - 1)^2} f 0 ′ ( x ) = − ( x − 1 ) 2 1 3. ) donc f 0 ′ ( 0 ) = − 1 f^{\prime}_0(0)= - 1 f 0 ′ ( 0 ) = − 1
L'équation de ( T 0 ) (T_0) ( T 0 )
y = − x − 1 y= - x - 1 y = − x − 1
De même, l'équation de ( T 2 ) (T_2) ( T 2 )
y = f 2 ′ ( 0 ) ( x − 0 ) + f 2 ( 0 ) y=f_2^{\prime}(0)(x - 0)+f_2(0) y = f 2 ′ ( 0 ) ( x − 0 ) + f 2 ( 0 )
avec f 2 ( 0 ) = − 1 f_2(0)= - 1 f 2 ( 0 ) = − 1 f 2 ′ ( x ) = 1 ( x − 1 ) 2 f_2^{\prime}(x)=\frac{1}{(x - 1)^2} f 2 ′ ( x ) = ( x − 1 ) 2 1 f 2 ′ ( 0 ) = 1 f^{\prime}_2(0)=1 f 2 ′ ( 0 ) = 1
L'équation de ( T 2 ) (T_2) ( T 2 )
y = x − 1 y=x - 1 y = x − 1
Les droites ( T 0 ) (T_0) ( T 0 ) ( T 2 ) (T_2) ( T 2 )
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