1. La courbe $\mathscr C$ passe par le point $A\left(1,0\right)$ :

   En remplaçant $x$ par 1 et $y$ par 0 dans l'équation de la courbe $y=a+ \frac{bx+c}{x^{2}+2x+3}$, on obtient:

   Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul.

   $a+\frac{b+c}{6}=0$

   $\frac{6a+b+c}{6}=0$

   $6a+b+c=0$

2. La tangente à $\mathscr C$ en $A$ a pour coefficient directeur $1$ si et seulement si $f^{\prime}\left(1\right)=1$

   La dérivée de la fonction $x\mapsto a$ est nulle; pour dériver le quotient on pose :

   Pour calculer $f^{\prime}\left(1\right)$ on calcule $f^{\prime}\left(x\right)$ puis on remplace $x$ par $1$.

   $u\left(x\right)=bx+c$ donc $u^{\prime}\left(x\right)=b$

   $v\left(x\right)=x^{2}+2x+3$ donc $v^{\prime}\left(x\right)=2x+2$

   Donc :

   $f^{\prime}\left(x\right)=\frac{u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right) - u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)}{v\left(x\right)^{2}}=\frac{b\left(x^{2}+2x+3\right) - \left(bx+c\right)\left(2x+2\right)}{\left(x^{2}+2x+3\right)^{2}}$

   $f^{\prime}\left(x\right)=\frac{ - bx^{2} - 2cx+3b - 2c}{\left(x^{2}+2x+3\right)^{2}}$

   donc:

   $f^{\prime}\left(1\right)=\frac{ - b - 2c+3b - 2c}{36}$

   L'égalité $f^{\prime}\left(1\right)=1$ se traduit par :

   $\frac{ - b - 2c+3b - 2c}{36}=1$

   $2b - 4c=36$

   $b - 2c=18$

3. La tangente à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $a$ est "horizontale" si et seulement si $f^{\prime}\left(a\right)=0$.

   La tangente au point d'abscisse 3 est parallèle à l'axe des abscisses si et seulement si $f^{\prime}\left(3\right)=0$ soit :

   $\frac{ - 9b - 6c+3b - 2c}{18^{2}}=0$

   $- 6b - 8c=0$

   $3b+4c=0$

4. On doit donc résoudre le système :

   $\left(S\right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6a+b+c=0 \\ b - 2c=18 \\ 3b+4c=0 \end{matrix}\right.$

   De la seconde équation on tire $b=18+2c$ et on remplace $b$ par $18+2c$ dans les autres équations :

   $\left(S\right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6a+\left(18+2c\right)+c=0 \\ b=18+2c \\ 3\left(18+2c\right)+4c=0 \end{matrix}\right.$

   $\phantom{\left(S\right)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b=18+2c \\ 10c+54=0 \\ 6a+3c+18=0 \end{matrix}\right.$

   $\phantom{\left(S\right)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c= - 5,4 \\ b=18 - 2\times 5,4 \\ a=\frac{1}{6}\left( - 18 - 3\times 5,4\right) \end{matrix}\right.$

On trouve donc :

$a= - 0,3$

$b=7,2$

$c= - 5,4$

En conclusion :

$f\left(x\right)= - 0,3+\frac{7,2x - 5,4}{x^{2}+2x+3}$