Famille de fonctions - Tableaux de variations
Soit m un nombre réel donné et fm la fonction définie sur R par :
fm(x)=x2+1x2+m
Justifier que la fonction fm est bien définie sur R.
Étudier la parité de la fonction fm.
Calculer fm′(x) pour tout réel x.
Dans cette question, on suppose m<1.
Dresser le tableau de variations de la fonction fm.
Même question si m>1.
Que peut-on dire de la fonction f1 (obtenue pour m=1 ) ?
Pour montrer que la fonction fm est définie sur R, il suffit de montrer que son dénominateur ne s'annule pas sur R.
Or, pour tout réel x, x2⩾0 donc x2+1⩾1.
x2+1 n'est donc jamais nul sur R.
fm(−x)=(−x)2+1(−x)2+m=x2+1x2+m=fm(x).
La fonction fm est donc paire quelle que soit la valeur de m.
Posons : u(x)=x2+m et v(x)=x2+1.
Alors : u′(x)=2x et v′(x)=2x
Par conséquent :
fm′(x)=v(x)2u′(x)v(x)−u(x)v′(x)
fm′(x)=(x2+1)22x(x2+1)−2x(x2+m)
fm′(x)=(x2+1)22x(1−m).
(x2+1)2 est strictement positif quel que soit le réel x.
Si m<1, alors 1−m est strictement positif ; fm′(x) est donc du signe de x.
fm admet donc un maximum pour x=0 ; ce maximum est égal à :
fm(0)=02+102+m=m
D'où le tableau de variations :
Par contre, si m>1, 1−m est strictement négatif ; fm′(x) est donc du signe opposé à x.
fm admet donc un maximum pour x=0 ; le tableau de variations est alors :
Pour m=1 :
f1(x)=x2+1x2+1=1
La fonction f1 est donc constante et égale à 1 sur R.
