$M\left(x;y\right)$ est un point d'intersection de $P$ et de $D_{m}$ si et seulement si :

$\begin{cases} y=x^{2} \\8mx - 4y+1=0 \end{cases}$

On remplace $y$ par $x^2$ dans la seconde équation :

$8mx - 4x^{2}+1=0$

$- 4x^{2}+8mx+1=0$

$\Delta =\left(8m\right)^{2} - 4 \times ( - 4) \times 1=64m^{2}+16$

$\Delta$ est strictement positif donc l'équation a deux solutions distinctes :

$x_{1}=\frac{ - 8m+\sqrt{64m^{2}+16}}{ - 8}=\frac{ - 8m+4\sqrt{4m^{2}+1}}{ - 8}=m - \frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}$

$x_{2}=m+\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}$

On a alors $y_{1}=x_{1}^{2}$ et $y_{2}=x_{2}^{2}$

$P$ et $D_{m}$ se coupent donc en deux points distincts $A_m\left( m - \frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2} ; \left(m - \frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)^{2} \right)$ et $B_m\left(m+\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2} ; \left(m+\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)^{2}\right)$

1. 

   Cas $m=1$

   Comme $f\left(x\right)=x^{2}$, $f^{\prime}\left(x\right)=2x$.

   L'équation de la tangente à la parabole en $A_{m}$ a pour équation:

   $y=f^{\prime}\left(x_{1}\right)\left(x - x_{1}\right)+f\left(x_{1}\right)$

   c'est à dire

   $y=2x_{1}\left(x - x_{1}\right)+x_{1}^{2}$

   $y=2x_{1}x - x_{1}^{2}$

   De même, l'équation de la tangente à la parabole en $B_{m}$ a pour équation:

   $y=2x_{2}x - x_{2}^{2}$

   Pour trouver les coordonnées de l'intersection $I_{m}$ on résout le système :

   $\left\{ \begin{matrix} y=2x_{1}x - x_{1}^{2} \\ y=2x_{2}x - x_{2}^{2} \end{matrix}\right.$

   Par substitution, il est équivalent à :

   $\left\{ \begin{matrix} y=2x_{1}x - x_{1}^{2} \\ 2x_{1}x+x_{1}^{2}=2x_{2}x - x_{2}^{2} \end{matrix}\right.$

   La deuxième équation donne successivement :

   $2x_{1}x - 2x_{2}x=x_{1}^{2} - x_{2}^{2}$

   $2\left(x_{1} - x_{2}\right)x=\left(x_{1} - x_{2}\right)\left(x_{1}+x_{2}\right)$

   $2x=x_{1}+x_{2}$

   or $x_{1}+x_{2}=m+\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}+m - \frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}=2m$

   donc l'équation devient:

   $2x=2m$ c'est à dire $x=m$.

   En remplaçant $x$ par $m$ dans la première équation du système on obtient :

   $y=2mx_{1} - x_{1}^{2}=x_{1}\left(2m - x_{1}\right)$

   $y=\left(m+\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)\times \left(2m - m - \frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)$

   $y=\left(m+\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)\times \left(m - \frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)$

   C'est une identité remarquable:

   $y=m^{2} - \left(\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)^{2}=m^{2} - \frac{4m^{2}+1}{4}=\frac{4m^{2} - 4m^{2} - 1}{4}= - \frac{1}{4}$

   Les coordonnées de $I_{m}$ sont donc $\left(m; - \frac{1}{4}\right)$.

2. Lorsque $m$ décrit $\mathbb{R}$ l'abscisse de $I_{m}$ décrit $\mathbb{R}$ tandis que son ordonnée est constante et égale à $- \frac{1}{4}$.

   L'ensemble des points $I_{m}$ lorsque $m$ décrit $\mathbb{R}$ est donc la droite d'équation $y= - \frac{1}{4}$