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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Intersections de tangentes

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O;i,j)\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right).

PP est la parabole d'équation y=x2y=x^{2}

DmD_{m} est la droite d'équation 8mx4y+1=08mx - 4y+1=0mRm\in \mathbb{R}

  1. Montrer que pour tout mRm\in \mathbb{R}, PP et DmD_{m} se coupent en deux points distincts AmA_{m} et BmB_{m}.

    1. Calculer les coordonnées du point d'intersection ImI_{m} des tangentes à la courbe PP aux points AmA_{m} et BmB_{m}.

    2. Quel est l'ensemble des points ImI_{m} lorsque mm décrit R\mathbb{R} ?

Corrigé

  1. M(x;y)M\left(x;y\right) est un point d'intersection de PP et de DmD_{m} si et seulement si :

    {y=x28mx4y+1=0\begin{cases} y=x^{2} \\8mx - 4y+1=0 \end{cases}

    On remplace yy par x2x^2 dans la seconde équation :

    8mx4x2+1=08mx - 4x^{2}+1=0

    4x2+8mx+1=0 - 4x^{2}+8mx+1=0

    Δ=(8m)24×(4)×1=64m2+16\Delta =\left(8m\right)^{2} - 4 \times ( - 4) \times 1=64m^{2}+16

    Δ\Delta est strictement positif donc l'équation a deux solutions distinctes :

    x1=8m+64m2+168=8m+44m2+18=m4m2+12x_{1}=\frac{ - 8m+\sqrt{64m^{2}+16}}{ - 8}=\frac{ - 8m+4\sqrt{4m^{2}+1}}{ - 8}=m - \frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}

    x2=m+4m2+12x_{2}=m+\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}

    On a alors y1=x12y_{1}=x_{1}^{2} et y2=x22y_{2}=x_{2}^{2}

    PP et DmD_{m} se coupent donc en deux points distincts Am(m4m2+12;(m4m2+12)2)A_m\left( m - \frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2} ; \left(m - \frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)^{2} \right) et Bm(m+4m2+12;(m+4m2+12)2)B_m\left(m+\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2} ; \left(m+\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)^{2}\right)

    1. Intersections de tangentes

      Cas m=1m=1

      Comme f(x)=x2f\left(x\right)=x^{2}, f(x)=2xf^{\prime}\left(x\right)=2x.

      L'équation de la tangente à la parabole en AmA_{m} a pour équation:

      y=f(x1)(xx1)+f(x1)y=f^{\prime}\left(x_{1}\right)\left(x - x_{1}\right)+f\left(x_{1}\right)

      c'est à dire

      y=2x1(xx1)+x12y=2x_{1}\left(x - x_{1}\right)+x_{1}^{2}

      y=2x1xx12y=2x_{1}x - x_{1}^{2}

      De même, l'équation de la tangente à la parabole en BmB_{m} a pour équation:

      y=2x2xx22y=2x_{2}x - x_{2}^{2}

      Pour trouver les coordonnées de l'intersection ImI_{m} on résout le système :

      {y=2x1xx12y=2x2xx22\left\{ \begin{matrix} y=2x_{1}x - x_{1}^{2} \\ y=2x_{2}x - x_{2}^{2} \end{matrix}\right.

      Par substitution, il est équivalent à :

      {y=2x1xx122x1x+x12=2x2xx22\left\{ \begin{matrix} y=2x_{1}x - x_{1}^{2} \\ 2x_{1}x+x_{1}^{2}=2x_{2}x - x_{2}^{2} \end{matrix}\right.

      La deuxième équation donne successivement :

      2x1x2x2x=x12x222x_{1}x - 2x_{2}x=x_{1}^{2} - x_{2}^{2}

      2(x1x2)x=(x1x2)(x1+x2)2\left(x_{1} - x_{2}\right)x=\left(x_{1} - x_{2}\right)\left(x_{1}+x_{2}\right)

      2x=x1+x22x=x_{1}+x_{2}

      or x1+x2=m+4m2+12+m4m2+12=2mx_{1}+x_{2}=m+\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}+m - \frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}=2m

      donc l'équation devient:

      2x=2m2x=2m c'est à dire x=mx=m.

      En remplaçant xx par mm dans la première équation du système on obtient :

      y=2mx1x12=x1(2mx1)y=2mx_{1} - x_{1}^{2}=x_{1}\left(2m - x_{1}\right)

      y=(m+4m2+12)×(2mm4m2+12)y=\left(m+\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)\times \left(2m - m - \frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)

      y=(m+4m2+12)×(m4m2+12)y=\left(m+\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)\times \left(m - \frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)

      C'est une identité remarquable:

      y=m2(4m2+12)2=m24m2+14=4m24m214=14y=m^{2} - \left(\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)^{2}=m^{2} - \frac{4m^{2}+1}{4}=\frac{4m^{2} - 4m^{2} - 1}{4}= - \frac{1}{4}

      Les coordonnées de ImI_{m} sont donc (m;14)\left(m; - \frac{1}{4}\right).

    2. Lorsque mm décrit R\mathbb{R} l'abscisse de ImI_{m} décrit R\mathbb{R} tandis que son ordonnée est constante et égale à 14 - \frac{1}{4}.

      L'ensemble des points ImI_{m} lorsque mm décrit R\mathbb{R} est donc la droite d'équation y=14y= - \frac{1}{4}