Nombre dérivé et tangente

Soit la fonction $f$ , définie par : $f\left(x\right)=x^{2}+3x - 4$ et $\mathscr C_{f}$ sa courbe représentative.

Calculer $\frac{f\left(h\right) - f\left(0\right)}{h}$ pour $h\neq 0$ .
En déduire la valeur de $f^{\prime}\left(0\right)$ .
Déterminer l'équation de la tangente à la parabole $\mathscr C_{f}$ au point d'abscisse $0$ .

Corrigé

Pour $h\neq 0$ :

$\frac{f\left(h\right) - f\left(0\right)}{h}=\frac{\left(h^{2}+3h - 4\right) - \left(0^{2}+3\times 0 - 4\right)}{h}=\frac{h^{2}+3h}{h}=h+3$
Lorsque $h$ tend vers $0$ , le rapport $\frac{f\left(0+h\right) - f\left(0\right)}{h}=h+3$ tend vers $3$ donc $f^{\prime}\left(0\right)=3$ .
L'équation cherchée est :

$y=f^{\prime}\left(0\right)\left(x - 0\right)+f\left(0\right)$

Or $f\left(0\right)=0^{2}+3\times 0 - 4= - 4$ et $f^{\prime}\left(0\right)=3$ d'après la question précédente.

L'équation de la tangente à la parabole $\mathscr C_{f}$ au point d'abscisse $0$ est donc :
$y=3x - 4$