[Bac] Suites et intégrales

Extrait d’un exercice du Bac S Métropole 2014.
Le sujet complet est disponible ici : Bac S Métropole 2014

L’objet de cette exercice est d’étudier la suite \left(I_{n}\right) définie sur \mathbb{N} par :

I_{n}=\int_{0}^{1}\left(x+e^{- nx}\right) dx.

1. Dans le plan muni d’un repère orthonormé \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) , pour tout entier naturel n, on note
   \mathscr C_{n} la courbe représentative de la fonction f_{n} définie sur \mathbb{R} par

   f_{n}\left(x\right)=x+e^{- nx}.

   Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe \mathscr C_{n} pour plusieurs valeurs de l’entier n et la droite \mathscr D d’équation x=1.
   

   1. Interpréter géométriquement l’intégrale I_{n}.
   2. En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite \left(I_{n}\right) et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s’appuie pour conjecturer.
   3. Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1,

      I_{n+1}-I_{n}=\int_{0}^{1}e^{-\left(n+1\right)x} \left(1- e^{x}\right)dx.

      En déduire le signe de I_{n+1}- I_{n} puis démontrer que la suite \left(I_{n}\right) est convergente.

   4. Déterminer l’expression de I_{n} en fonction de n et déterminer la limite de la suite \left(I_{n}\right).

   Corrigé

   1. 1. Sur \left[0;1\right] les fonctions f_{n} sont strictement positives puisque x \geqslant 0 et e^{-nx} > 0
         L’intégrale I_{n} représente donc l’aire du plan délimité par la courbe \mathscr C_{n}, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=0 et x=1.
      2. D’après la figure, il semble que la suite I_{n} soit décroissante et tende vers \frac{1}{2}.
         En effet, sur \left[0;1\right] les courbes \mathscr C_{n} semble se rapprocher de la droite d’équation y=x;
         l’aire comprise entre cette droite, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=0 et x=1 vaut \frac{1}{2} (triangle rectangle isocèle dont les côtés mesurent 1 unité).
      3. I_{n+1}-I_{n}=\int_{0}^{1}x+e^{-\left(n+1\right)x}dx-\int_{0}^{1}x+e^{-nx}dx.
         D’après la propriété de linéarité de l’intégrale :
         I_{n+1}-I_{n}=\int_{0}^{1}x+e^{-\left(n+1\right)x}-\left(x+e^{-nx}\right)dx=\int_{0}^{1}e^{-\left(n+1\right)x}-e^{-nx}dx
         I_{n+1}-I_{n}= \int_{0}^{1}e^{-\left(n+1\right)x} \left(1-e^{x}\right)dx
         Or, sur \left[0;1\right], e^{x} \geqslant 1 donc 1-e^{x}\leqslant 0 et e^{-\left(n+1\right)x} > 0 donc d’après la propriété de positivité de l’intégrale : I_{n+1}-I_{n} \leqslant 0.
         La suite \left(I_{n}\right) est donc décroissante. Comme elle est minorée par zéro elle est convergente.
      4. Une primitive de x\mapsto x sur \mathbb{R} est x\mapsto \frac{x^{2}}{2}
         Une primitive de x\mapsto e^{-nx} sur \mathbb{R} est x\mapsto -\frac{e^{-nx}}{n}
         Par conséquent :
         I_{n}=\int_{0}^{1}\left(x+e^{- nx}\right) dx = \left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{e^{-nx}}{n}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}- \frac{e^{-n}}{n}+\frac{1}{n}
         Comme \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\frac{e^{-n}}{n}=0 (par quotient) et \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}=0 on a donc :

         \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }I_{n}=\frac{1}{2}