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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Fonctions Intégrales - Bac S Métropole 2014

Exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

Partie A

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on désigne par C1\mathscr C_{1} la courbe représentative de la fonction f1f_{1} définie sur R\mathbb{R} par :

f1(x)=x+e−x.f_{1}\left(x\right)=x+ e^{ - x}.

  1. Justifier que C1\mathscr C_{1} passe par le point AA de coordonnées (0;1)\left(0 ; 1\right).

  2. Déterminer le tableau de variation de la fonction f1f_{1}. On précisera les limites de f1f_{1} en +∞+ \infty et en −∞ - \infty .

Partie B

L'objet de cette partie est d'étudier la suite (In)\left(I_{n}\right) définie sur N\mathbb{N} par :

In=∫01(x+e−nx)dx.I_{n}=\int_{0}^{1}\left(x+e^{ - nx}\right) dx.

  1. Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O;i⃗,j⃗)\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) , pour tout entier naturel nn, on note

    Cn\mathscr C_{n} la courbe représentative de la fonction fnf_{n} définie sur R\mathbb{R} par

    fn(x)=x+e−nx.f_{n}\left(x\right)=x+e^{ - nx}.

    Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe Cn\mathscr C_{n} pour plusieurs valeurs de l'entier nn et la droite D\mathscr D d'équation x=1x=1.

    Fonctions Intégrales - Bac S Métropole 2014

    1. Interpréter géométriquement l'intégrale InI_{n}.

    2. En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite (In)\left(I_{n}\right) et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s'appuie pour conjecturer

  2. Démontrer que pour tout entier naturel nn supérieur ou égal à 1,

    In+1−In=∫01e−(n+1)x(1−ex)dx.I_{n+1} - I_{n}=\int_{0}^{1}e^{ - \left(n+1\right)x} \left(1 - e^{x}\right)dx.

    En déduire le signe de In+1−InI_{n+1} - I_{n} puis démontrer que la suite (In)\left(I_{n}\right) est convergente.

  3. Déterminer l'expression de InI_{n} en fonction de nn et déterminer la limite de la suite (In)\left(I_{n}\right).

Corrigé

Partie A

  1. f1(0)=0+e0=1f_{1}\left(0\right)=0+e^{0}=1

    Donc la courbe C1\mathscr C_{1} passe par le point AA de coordonnées (0;1)\left(0 ; 1\right).

  2. f1f_{1} est définie et dérivable sur R\mathbb{R} et :

    f1′(x)=1−e−xf_{1}^{\prime}\left(x\right)=1 - e^{ - x}

    f1′(x)⩾0⇔1−e−x⩾0⇔e−x⩽1f_{1}^{\prime}\left(x\right) \geqslant 0 \Leftrightarrow 1 - e^{ - x} \geqslant 0 \Leftrightarrow e^{ - x}\leqslant 1

    Du fait de la stricte croissance de la fonction exponentielle :

    f1′(x)⩾0⇔−x⩽0⇔x⩾0f_{1}^{\prime}\left(x\right) \geqslant 0 \Leftrightarrow - x \leqslant 0 \Leftrightarrow x\geqslant 0

    limx→+∞x=+∞\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x= + \infty et limx→+∞e−x=0\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }e^{ - x}= 0

    Donc, par somme : limx→+∞f1(x)=+∞\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f_{1}\left(x\right)= +\infty

    Pour la limite en −∞ - \infty on a une forme indéterminée dy type « +∞−∞+\infty - \infty ». On peut lever cette indétermination en mettant xx en facteur :

    f1(x)=x(1+e−xx)f_{1}\left(x\right)=x\left(1+\frac{e^{ - x}}{x}\right)

    En posant X=−xX= - x on voit que :

    limx→−∞e−xx=limX→+∞−eXX=−∞\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\frac{e^{ - x}}{x}= \lim\limits_{X\rightarrow +\infty } - \frac{e^{X}}{X} = - \infty

    Donc limx→−∞(1+e−xx)=−∞\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\left(1+\frac{e^{ - x}}{x}\right)= - \infty et par produit :

    limx→−∞x(1+e−xx)=+∞\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x\left(1+\frac{e^{ - x}}{x}\right)= +\infty

    On obtient le tableau de variations suivant :

    Exercice

Partie B

    1. Sur [0;1]\left[0;1\right] les fonctions fnf_{n} sont strictement positives puisque x⩾0x \geqslant 0 et e−nx>0e^{ - nx} > 0

      L'intégrale InI_{n} représente donc l'aire du plan délimité par la courbe Cn\mathscr C_{n}, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0x=0 et x=1x=1.

    2. D'après la figure, il semble que la suite InI_{n} soit décroissante et tende vers 12\frac{1}{2}.

      En effet, sur [0;1]\left[0;1\right] les courbes Cn\mathscr C_{n} semble se rapprocher de la droite d'équation y=xy=x;

      l'aire comprise entre cette droite, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0x=0 et x=1x=1 vaut 12\frac{1}{2} (triangle rectangle isocèle dont les côtés mesurent 1 unité).

  2. In+1−In=∫01x+e−(n+1)xdx−∫01x+e−nxdxI_{n+1} - I_{n}=\int_{0}^{1}x+e^{ - \left(n+1\right)x}dx - \int_{0}^{1}x+e^{ - nx}dx.

    D'après la propriété de linéarité de l'intégrale :

    In+1−In=∫01x+e−(n+1)x−(x+e−nx)dx=∫01e−(n+1)x−e−nxdxI_{n+1} - I_{n}=\int_{0}^{1}x+e^{ - \left(n+1\right)x} - \left(x+e^{ - nx}\right)dx=\int_{0}^{1}e^{ - \left(n+1\right)x} - e^{ - nx}dx

    In+1−In=∫01e−(n+1)x(1−ex)dxI_{n+1} - I_{n}= \int_{0}^{1}e^{ - \left(n+1\right)x} \left(1 - e^{x}\right)dx

    Or, sur [0;1]\left[0;1\right], ex⩾1e^{x} \geqslant 1 donc 1−ex⩽01 - e^{x}\leqslant 0 et e−(n+1)x>0e^{ - \left(n+1\right)x} > 0 donc d'après la propriété de positivité de l'intégrale : In+1−In⩽0I_{n+1} - I_{n} \leqslant 0.

    La suite (In)\left(I_{n}\right) est donc décroissante. Comme elle est minorée par zéro elle est convergente.

  3. Une primitive de x↦xx\mapsto x sur R\mathbb{R} est x↦x22x\mapsto \frac{x^{2}}{2}

    Une primitive de x↦e−nxx\mapsto e^{ - nx} sur R\mathbb{R} est x↦−e−nxnx\mapsto - \frac{e^{ - nx}}{n}

    Par conséquent :

    In=∫01(x+e−nx)dx=[x22−e−nxn]01=12−e−nn+1nI_{n}=\int_{0}^{1}\left(x+e^{ - nx}\right) dx = \left[\frac{x^{2}}{2} - \frac{e^{ - nx}}{n}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{e^{ - n}}{n}+\frac{1}{n}

    Comme limn→+∞e−nn=0\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\frac{e^{ - n}}{n}=0 (par quotient) et limn→+∞1n=0\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}=0 on a donc :

    limn→+∞In=12\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }I_{n}=\frac{1}{2}

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