Fonctions Intégrales - Bac S Métropole 2014
Exercice 1 (5 points)
Commun à tous les candidats
Partie A
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on désigne par C1 la courbe représentative de la fonction f1 définie sur R par :
f1(x)=x+e−x.
Justifier que C1 passe par le point A de coordonnées (0;1).
Déterminer le tableau de variation de la fonction f1. On précisera les limites de f1 en +∞ et en −∞.
Partie B
L'objet de cette partie est d'étudier la suite (In) définie sur N par :
In=∫01(x+e−nx)dx.
Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O;i⃗,j⃗) , pour tout entier naturel n, on note
Cn la courbe représentative de la fonction fn définie sur R par
fn(x)=x+e−nx.
Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe Cn pour plusieurs valeurs de l'entier n et la droite D d'équation x=1.
Interpréter géométriquement l'intégrale In.
En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite (In) et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s'appuie pour conjecturer
Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1,
In+1−In=∫01e−(n+1)x(1−ex)dx.
En déduire le signe de In+1−In puis démontrer que la suite (In) est convergente.
Déterminer l'expression de In en fonction de n et déterminer la limite de la suite (In).
Partie A
f1(0)=0+e0=1
Donc la courbe C1 passe par le point A de coordonnées (0;1).
f1 est définie et dérivable sur R et :
f1′(x)=1−e−x
f1′(x)⩾0⇔1−e−x⩾0⇔e−x⩽1
Du fait de la stricte croissance de la fonction exponentielle :
f1′(x)⩾0⇔−x⩽0⇔x⩾0
x→+∞limx=+∞ et x→+∞lime−x=0
Donc, par somme : x→+∞limf1(x)=+∞
Pour la limite en −∞ on a une forme indéterminée dy type « +∞−∞». On peut lever cette indétermination en mettant x en facteur :
f1(x)=x(1+xe−x)
En posant X=−x on voit que :
x→−∞limxe−x=X→+∞lim−XeX=−∞
Donc x→−∞lim(1+xe−x)=−∞ et par produit :
x→−∞limx(1+xe−x)=+∞
On obtient le tableau de variations suivant :
Partie B
Sur [0;1] les fonctions fn sont strictement positives puisque x⩾0 et e−nx>0
L'intégrale In représente donc l'aire du plan délimité par la courbe Cn, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=1.
D'après la figure, il semble que la suite In soit décroissante et tende vers 21.
En effet, sur [0;1] les courbes Cn semble se rapprocher de la droite d'équation y=x;
l'aire comprise entre cette droite, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=1 vaut 21 (triangle rectangle isocèle dont les côtés mesurent 1 unité).
In+1−In=∫01x+e−(n+1)xdx−∫01x+e−nxdx.
D'après la propriété de linéarité de l'intégrale :
In+1−In=∫01x+e−(n+1)x−(x+e−nx)dx=∫01e−(n+1)x−e−nxdx
In+1−In=∫01e−(n+1)x(1−ex)dx
Or, sur [0;1], ex⩾1 donc 1−ex⩽0 et e−(n+1)x>0 donc d'après la propriété de positivité de l'intégrale : In+1−In⩽0.
La suite (In) est donc décroissante. Comme elle est minorée par zéro elle est convergente.
Une primitive de x↦x sur R est x↦2x2
Une primitive de x↦e−nx sur R est x↦−ne−nx
Par conséquent :
In=∫01(x+e−nx)dx=[2x2−ne−nx]01=21−ne−n+n1
Comme n→+∞limne−n=0 (par quotient) et n→+∞limn1=0 on a donc :
n→+∞limIn=21
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