Suites arithmético-géométrique – Bac ES/L Liban 2013

Exercice 2   (5 points)

Commun à tous les candidats

Partie A

On considère la suite \left(u_{n}\right) définie par u_{0}=10 et pour tout entier naturel n,

u_{n+1}=0,9u_{n}+1,2

1. On considère la suite \left(v_{n}\right) définie pour tout entier naturel n par v_{n}=u_{n}-12.
   1. Démontrer que la suite \left(v_{n}\right) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
   2. Exprimer v_{n} en fonction de n.
   3. En déduire que pour tout entier naturel n : u_{n}=12-2\times 0,9^{n}.
2. Déterminer la limite de la suite \left(v_{n}\right) et en déduire celle de la suite \left(u_{n}\right).

Partie B

En 2012, la ville de Bellecité compte 10 milliers d’habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que chaque année :

• 10% des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville ;
• 1 200 personnes naissent ou emménagent dans cette ville.

1. Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite \left(u_{n}\right) où u_{n} désigne le nombre de milliers d’habitants de la ville de Bellecité l’année 2012+n.
2. Un institut statistique décide d’utiliser un algorithme pour prévoir la population de la ville de Bellecité dans les années à venir.
   Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’il calcule la population de la ville de Bellecité l’année 2012+n.
   VARIABLES
   a, i, n
   INITIALISATION
   Choisir n
   a prend la valeur 10
   TRAITEMENT
   Pour i allant de 1 à n
   …a prend la valeur ….
   SORTIE
   Afficher a
3. 1. Résoudre l’inéquation 12-2\times 0,9^{n} > 11,5.
   2. En donner une interprétation.