Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

Close

Suites arithmético-géométrique - Bac ES/L Liban 2013

Exercice 2   (5 points)

Commun à tous les candidats

Partie A

On considère la suite (un)\left(u_{n}\right) définie par u0=10u_{0}=10 et pour tout entier naturel n,n,

un+1=0,9un+1,2 u_{n+1}=0,9u_{n}+1,2

  1. On considère la suite (vn)\left(v_{n}\right) définie pour tout entier naturel nn par vn=un12v_{n}=u_{n} - 12.

    1. Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n}\right) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

    2. Exprimer vnv_{n} en fonction de nn.

    3. En déduire que pour tout entier naturel n:un=122×0,9nn : u_{n}=12 - 2\times 0,9^{n}.

  2. Déterminer la limite de la suite (vn)\left(v_{n}\right) et en déduire celle de la suite (un)\left(u_{n}\right).

Partie B

En 2012, la ville de Bellecité compte 10 milliers d'habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que chaque année :

  1. Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite (un)\left(u_{n}\right)unu_{n} désigne le nombre de milliers d'habitants de la ville de Bellecité l'année 2012+n2012+n.

  2. Un institut statistique décide d'utiliser un algorithme pour prévoir la population de la ville de Bellecité dans les années à venir.

    Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il calcule la population de la ville de Bellecité l'année 2012+n2012+n.

    VARIABLES a,i,na, i, n INITIALISATION Choisir nn aa prend la valeur TRAITEMENT Pour ii allant de 11 à nn aa prend la valeur .... SORTIE Afficher aa
    1. Résoudre l'inéquation 122×0,9n>11,512 - 2\times 0,9^{n} > 11,5.

    2. En donner une interprétation.