Exercice 3   (5 points)

Commun à tous les candidats

Partie A

On considère la fonction $C$ définie sur l'intervalle $\left[5 ; 60\right]$ par :

1. On désigne par $C^{\prime}$ la dérivée de la fonction $C$.

   Montrer que, pour tout $x\in \left[5 ; 60\right]$:

   $C^{\prime}\left(x\right)=\frac{0,1xe^{0,1x} - e^{0,1x} - 20}{x^{2}}$

2. On considère la fonction $f$ définie sur $\left[5 ; 60\right]$ par

   $f\left(x\right)=0,1xe^{0,1x} - e^{0,1x} - 20.$

   1. Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[5 ; 60\right]$.

   2. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=0$ possède une unique solution $\alpha$ dans $\left[5 ; 60\right]$.

   3. Donner un encadrement à l'unité de $\alpha$.

   4. En déduire le tableau de signes de $f\left(x\right)$ sur $\left[5 ; 60\right]$.

3. En déduire le tableau de variations de $C$ sur $\left[5 ; 60\right]$.

4. En utilisant le tableau de variations précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :

   1. $C\left(x\right)=2$

   2. $C\left(x\right)=5$

Partie B

Une entreprise fabrique chaque mois $x$ vélos de course, avec $x$ appartenant à l'intervalle $\left[5 ; 60\right]$.

Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production de $x$ vélos de course, est donné par la fonction $C$ définie dans la partie A.

Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal.