Points d'intersection avec une tangente

La fonction f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur \mathbb{R} .

Sa dérivée est définie par :
f ^{\prime} (x) =3x^2 -2x -1

Étudions le signe de f ^{\prime} :
\Delta = ( -2) ^2 -4 \times 3 \times ( -1) = 16 > 0

f ^{\prime} admet donc 2 racines :
x_1= \frac{ 2 - \sqrt { 16 }}{ 2 \times 3 } = -\frac{ 2 }{ 6 } = - \frac{ 1 }{ 3 }
x_2= \frac{ 2 +\sqrt { 16 }}{ 2 \times 3 } = \frac{ 6 }{ 6 } = 1

Le coefficient de x^2 ~ (a=3) , est strictement positif. On en déduit le tableau de signes de f ^{\prime} et le tableau de variations de f , compte tenu du fait que :

f \left( - \frac{ 1 }{ 3 } \right) = - \frac{ 1 }{ 27 } - \frac{ 1 }{ 9 } + \frac{ 1 }{ 3 } = \frac{ 5 }{ 27 }
f (1) =1 -1 -1= -1

Les abscisses des points d'intersection de la courbe \mathscr{C} avec l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation :
x^{ 3 } -x^2 -x=0

Cette équation équivaut à :
x \left( x^2 -x -1 \right) =0

soit x=0 ou x^2 -x -1=0

Le discriminant de x^2 -x -1 est :
\Delta = ( -1) ^2 -4 \times 1 \times ( -1) =5 > 0

L'équation x^2 -x -1 admet donc 2 solutions :
x= \frac{ 1+ \sqrt { 5 } }{ 2 } ou x= \frac{ 1 - \sqrt { 5 } }{ 2 } .

En conclusion, la courbe \mathscr{C} coupe l'axe des abscisses en trois points de coordonnées respectives :
\left( 0 ; 0 \right) , \left( \frac{ 1 - \sqrt { 5 } }{ 2 } ; 0 \right) , \left( \frac{ 1 + \sqrt { 5 } }{ 2 } ; 0 \right) .

L'équation de la tangente \left( T_{ a } \right) au point d'abscisse a est donnée par la formule :

Ici, on obtient :
y= (3a^2 -2a -1) (x -a) +a^{ 3 } -a^2 -a
y= (3a^2 -2a -1) x -3a^{ 3} +2a^2 +a+a^{ 3 } -a^2 -a
y = (3a^2 -2a -1) x -2a^{ 3 } +a^2  

1. (x -a) ^2 (x+2a -1) = (x^2 -2ax+a^2 ) (x+2a -1)
   \phantom{ (x -a) ^2 (x+2a -1) } = x^{ 3} +2ax^2 -x^2 -2ax^2 -4a^2 x+2ax+a^2 x+2a^{ 3 } -a^2
   \phantom{ (x -a) ^2 (x+2a -1) } = x^{ 3} -x^2 -3a^2 x+2ax+2a^{ 3 } -a^2 .

2. Pour déterminer les abscisses des points d'intersection de \mathscr{C} et de \left( T_{ a } \right) , on résout l'équation :

   x^{ 3} -x^2 -x= (3a^2 -2a -1) x -2a^{ 3 } +a^2  
   x^{ 3} -x^2 -x - (3a^2 -2a -1) x+ 2a^{ 3 } -a^2=0  
   x^{ 3} -x^2 -3a^2 x+2ax+2a^{ 3 } -a^2=0

   d'après la question précédente, cette équation équivaut à :
   (x -a) ^2 (x+2a -1) =0  

   par conséquent :
   (x -a) ^2 =0 ou x+2a -1=0  
   x=a ou x= -2a+1  

   On a donc, en général, deux points d'intersection d'abscisses respectives a et -2a+1.

   Toutefois, ces points peuvent être confondus si a= -2a+1 c'est-à-dire si 3a=1 soit a= \frac{ 1 }{ 3 }  ; on a alors un seul point d'intersection qui est le point d'abscisse \frac{ 1 }{ 3 } .