1. $j= - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
   $\left| j \right| = \sqrt{\left( - \dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}=1$
   $\theta$ est un argument de $j$ si et seulement si $\cos \theta = - \dfrac{1}{2}$ et $\sin \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Donc $\dfrac{2\pi}{3}$ est un argument de $j$.

   La forme trigonométrique de $j$ est :

   $j=\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) + \text{i}\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$

   et sa forme exponentielle :

   $j= \text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}$.

   La forme algébrique de $a^{\prime}$ est :

   $a^{\prime}=aj= - 4j=2 - 2\text{i}\sqrt{3}$.

   Par ailleurs :

   $a^{\prime}= - 4j= - 4\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}$

   Toutefois $- 4$ étant négatif, l'écriture ci-dessus n'est pas la forme exponentielle de $a^{\prime}$.

   Pour obtenir la forme exponentielle de $a^{\prime}$ on utilise le fait que $- 1=\text{e}^{\text{i}\pi}$ ; par conséquent :

   $a^{\prime}= - 4\left( \text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}\right)$
   $\phantom{a^{\prime}}=4 \text{e}^{\text{i}\pi}\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}$
   $\phantom{a^{\prime}}=4\text{e}^{\text{i}\left( \pi+\frac{2\pi}{3}\right) }$.

   La forme exponentielle de $a^{\prime}$ est donc :

   $a^{\prime}=4\text{e}^{\frac{5\text{i}\pi}{3}}$.

   La forme algébrique de $b^{\prime}$ est :

   $b^{\prime}= bj=2j= - 1+\text{i}\sqrt{3}$

   et sa forme exponentielle :

   $b^{\prime}=2j=2\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}$.

   Enfin, la forme algébrique de $c^{\prime}$ est :

   $c^{\prime}= cj=4j= - 2+2\text{i}\sqrt{3}$

   et sa forme exponentielle :

   $c^{\prime}=4j=4\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}$.

2. Voir figure ci-après.

L'affixe du vecteur $\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}$ est :

$b^{\prime} - a^{\prime}=2j - ( - 4j)=6j$.

L'affixe du vecteur $\overrightarrow{B^{\prime}C^{\prime}}$ est :

$c^{\prime} - b^{\prime}=4j - 2j=2j$.

Par conséquent $\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}$ =3$\overrightarrow{B^{\prime}C^{\prime}}$.

Les vecteurs $\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}$ et $\overrightarrow{B^{\prime}C^{\prime}}$ sont colinéaires donc les points $A^{\prime}$, $B^{\prime}$ et $C^{\prime}$ sont alignés.

L'affixe de M est :

$m=\dfrac{a^{\prime}+c}{2}=3 - \text{i}\sqrt{3}$

L'affixe de N est :

$n=\dfrac{c^{\prime}+c}{2}=1+\text{i}\sqrt{3}$

L'affixe de P est :

$p=\dfrac{c^{\prime}+a}{2}= - 3+\text{i}\sqrt{3}$

Montrons que $MN=PN$
$MN=\left|m - n \right| = \left|2 - 2\text{i}\sqrt{3} \right|$
$\phantom{MN}=\sqrt{2^2+\left(2 \sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{4+12}=4$
$PN=\left|n - p \right| =\left|4 \right| = 4$

Le triangle $MNP$ est donc isocèle en $N$.