Le discriminant vaut :
Δ=42−4×16×1=−48
Le discriminant est strictement négatif donc l'équation possède deux solutions complexes conjuguées :
Z1=2−4−i√48=−2−2√3i
Z2=2−4+i√48=−2+2√3i
∣Z1∣=√4+12=4
Si θ est un argument de Z1 :
cosθ=−42=−21 et sinθ=−42√3=−2√3 donc θ=3−2iπ (mod. 2π)
La forme exponentielle de Z1 est donc :
Z1=4e−2i3π
Z2 est le conjugué de Z1 donc :
Z2=4e2i3π
a=2ei3π donc
a2=4e2i3π=Z2=−2+2√3i
L'équation z2=−2+2i√3 est donc identique à z2=a2 dont les solutions sont a=1+i√3 et −a=−1−i√3.
Posons z1=x1+iy1 et z2=x2+iy2
z1×z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=x1x2−y1y2+(x1y2+x2y1)i
Donc
z1×z2=x1x2−y1y2−(x1y2+x2y1)i
Par ailleurs :
z1×z2=(x1−iy1)(x2−iy2)=x1x2−y1y2+(−x1y2−x2y1)i=z1×z2
La proposition «Pour tout nombre complexe z et tout entier naturel non nul n,zn=(z)n » se montre par récurrence.
♦ Elle est vraie au rang 1 car z1=(z)1(=z)
♦ Si on suppose qu'elle est vraie au rang n, c'est à dire que zn=(z)n alors :
zn+1=zn×z
Or d'après ce qui précède : zn×z=zn×z donc :
zn+1=zn×z
zn+1=(z)n×z (hypothèse de récurrence)
zn+1=(z)n+1
ce qui montre la proposition par récurrence.
Si z est une solution de (E) alors z4+4z2+16=0 donc z4+4z2+16=0=0.
Or d'après les propriétés que l'on vient de démontrer z4+4z2+16=z4+4z2+16 donc
z4+4z2+16=0 et z est également solution de (E).
D'après les questions 1. et 2., a et −a sont solutions de (E).
D'après ce qui précède, a et −a sont aussi solutions de (E).
Les quatre solutions de (E) sont donc:
a=1+i√3
−a=−1−i√3
a=1−i√3
−a=−1+i√3