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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Probabilités – Bac S Pondichéry 2018

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Une entreprise conditionne du sucre blanc provenant de deux exploitations U et V en paquets de 1 kg et de différentes qualités.

Le sucre extra fin est conditionné séparément dans des paquets portant le label « extra fin ».

Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.

Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.

Partie A

Pour calibrer le sucre en fonction de la taille de ses cristaux, on le fait passer au travers d'une série de trois tamis positionnés les uns au-dessus des autres et posés sur un récipient à fond étanche. Les ouvertures des mailles sont les suivantes :

tamis

Les cristaux de sucre dont la taille est inférieure à 0,20,2 mm se trouvent dans le récipient à fond étanche à la fin du calibrage. Ils seront conditionnés dans des paquets portant le label « sucre extra fin ».

  1. On prélève au hasard un cristal de sucre de l'exploitation U. La taille de ce cristal, exprimée en millimètre, est modélisée par la variable aléatoire X UX_{\text{ U}} qui suit la loi normale de moyenne μ U=0,58\mu_{\text{ U}} = 0,58 mm et d'écart type σ U=0,21\sigma_{\text{ U}} = 0,21 mm.

    1. Calculer les probabilités des événements suivants : X U<0,2X_{\text{ U}} < 0,2 et 0,5X U<0,8 0,5 \leqslant X_{\text{ U}} < 0,8.

    2. On fait passer 1 800 grammes de sucre provenant de l'exploitation U au travers de la série de tamis.

      Déduire de la question précédente une estimation de la masse de sucre récupérée dans le récipient à fond étanche et une estimation de la masse de sucre récupérée dans le tamis 2.

  2. On prélève au hasard un cristal de sucre de l'exploitation V. La taille de ce cristal, exprimée en millimètre, est modélisée par la variable aléatoire XVX_{\text{V}} qui suit la loi normale de moyenne μV=0,65\mu_{\text{V}} = 0,65 mm et d'écart type σV\sigma_{\text{V}} à déterminer.

    Lors du calibrage d'une grande quantité de cristaux de sucre provenant de l'exploitation V, on constate que 40 % de ces cristaux se retrouvent dans le tamis 2.

    Quelle est la valeur de l'écart type σV\sigma_{\text{V}} de la variable aléatoire XVX_{\text{V}} ?

Partie B

Dans cette partie, on admet que 3 % du sucre provenant de l'exploitation U est extra fin et que 5 % du sucre provenant de l'exploitation V est extra fin.

On prélève au hasard un paquet de sucre dans la production de l'entreprise et, dans un souci de traçabilité, on s'intéresse à la provenance de ce paquet.

On considère les événements suivants :

  • UU : « Le paquet contient du sucre provenant de l'exploitation U » ;

  • VV : « Le paquet contient du sucre provenant de l'exploitation V » ;

  • EE : « Le paquet porte le label "extra fin" ».

  1. Dans cette question, on admet que l'entreprise fabrique 30 % de ses paquets avec du sucre provenant de l'exploitation U et les autres avec du sucre provenant de l'exploitation V, sans mélanger les sucres des deux exploitations.

    1. Quelle est la probabilité que le paquet prélevé porte le label « extra fin » ?

    2. Sachant qu'un paquet porte le label « extra fin », quelle est la probabilité que le sucre qu'il contient provienne de l'exploitation U ?

  2. L'entreprise souhaite modifier son approvisionnement auprès des deux exploitations afin que parmi les paquets portant le label « extra fin », 30 % d'entre eux contiennent du sucre provenant de l'exploitation U.

    Comment doit-elle s'approvisionner auprès des exploitations U et V ?

    Toute trace de recherche sera valorisée dans cette question.

Partie C

  1. L'entreprise annonce que 30 % des paquets de sucre portant le label « extra fin » qu'elle conditionne contiennent du sucre provenant de l'exploitation U.

    Avant de valider une commande, un acheteur veut vérifier cette proportion annoncée. Il prélève 150150 paquets pris au hasard dans la production de paquets labellisés « extra fin » de l'entreprise. Parmi ces paquets, 3030 contiennent du sucre provenant de l'exploitation U.

    A-t-il des raisons de remettre en question l'annonce de l'entreprise ?

  2. L'année suivante, l'entreprise déclare avoir modifié sa production. L'acheteur souhaite estimer la nouvelle proportion de paquets de sucre provenant de l'exploitation U parmi les paquets portant le label « extra fin ».

    Il prélève 150 paquets pris au hasard dans la production de paquets labellisés « extra fin » de l'entreprise. Parmi ces paquets 42 % contiennent du sucre provenant de l'exploitation U.

    Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 %, de la nouvelle proportion de paquets labellisés « extra fin » contenant du sucre provenant de l'exploitation U.

Corrigé

Partie A

    1. X UX_{\text{ U}} suit la loi normale de moyenne μ U=0,58\mu_{\text{ U}} = 0,58 et d'écart type σ U=0,21\sigma_{\text{ U}} = 0,21.

      À la calculatrice, on trouve :

      p(X U<0,2)0,035p\left(X_{\text{ U}}<0,2 \right)\approx 0,035 (au millième).

      p(0,5X U<0,8)0,501p\left(0,5 \leqslant X_{\text{ U}} < 0,8 \right)\approx 0,501 (au millième).

    2. p(X U<0,2)0,035p\left(X_{\text{ U}}<0,2 \right)\approx 0,035 donc 3,5% des cristaux se retrouvent dans le récipient à fond étanche.

      Pour 1 800g de sucre, cela correspond à une masse d'environ 1 800×0,035 = 631~800 \times 0,035~=~63 grammes (arrondie au gramme).

      p(0,5X U<0,8)0,501p\left(0,5 \leqslant X_{\text{ U}}<0,8 \right)\approx 0,501 donc 50,1% des cristaux se retrouvent dans le tamis 2 .

      Pour 1 800g de sucre, cela correspond à une masse d'environ 1 800×0,501 = 9021~800 \times 0,501~=~902 grammes (arrondie au gramme).

  1. Posons Z=XVμVσV=XV0,65σVZ=\dfrac{X_{\text{V}} - \mu_{\text{V}}}{\sigma_{\text{V}}} = \dfrac{X_{\text{V}} - 0,65}{\sigma_{\text{V}}}

    Puisque XVX_{\text{V}} suit la loi normale de moyenne μ V=0,58\mu_{\text{ V}} = 0,58 et d'écart type σV\sigma_{\text{V}}, ZZ suit la loi normale centrée réduite.

    D'après l'énoncé, 40 % des cristaux se retrouvent dans le tamis 2 donc :

    p(0,5X V<0,8)=0,4p\left(0,5 \leqslant X_{\text{ V}}<0,8 \right)= 0,4.

    Or :

    0,5X V<0,8  0,50,65X V0,65<0,80,650,5 \leqslant X_{\text{ V}}<0,8~ \Leftrightarrow ~0,5 - 0,65\leqslant X_{\text{ V}} - 0,65<0,8 - 0,65
    0,5X V<0,8  0,15X V0,65<0,15\phantom{0,5 \leqslant X_{\text{ V}}<0,8}~ \Leftrightarrow ~ - 0,15\leqslant X_{\text{ V}} - 0,65<0,15
    0,5X V<0,8  0,15σVZ<0,15σV\phantom{0,5 \leqslant X_{\text{ V}}<0,8}~ \Leftrightarrow ~ - \dfrac{0,15}{\sigma_{\text{V}}} \leqslant Z<\dfrac{0,15}{\sigma_{\text{V}}}

    Par conséquent :

    p(0,15σVZ<0,15σV)=0,4p\left( - \dfrac{0,15}{\sigma_{\text{V}}} \leqslant Z<\dfrac{0,15}{\sigma_{\text{V}}} \right) =0,4

    ZZ suit la loi normale centrée réduite.

    À la calculatrice on trouve p(0,524Z<0,524)=0,4p\left( - 0,524 \leqslant Z<0,524\right) =0,4.

    Donc 0,15σV0,524\dfrac{0,15}{\sigma_{\text{V}}}\approx 0,524 et σV0,150,5240,286\sigma_{\text{V}} \approx \dfrac{0,15}{0,524}\approx 0,286.

Partie B

    1. On cherche à calculer p(E)p(E).

      On peut modéliser la situation à l'aide de l'arbre ci-dessous :

      arbre pondéré probabilités

      Le sucre provenant soit de l'exploitation U, soit de l'exploitation V, les événements UU et VV forment une partition de l'univers.

      D'après la formule des probabilités totales :

      p(E)=p(U)×pU(E)+p(V)×pV(E)p(E)=p(U) \times p_U(E) +p(V) \times p_V(E)
      P(E)=0,3×0,03+0,7×0,05\phantom{P(E)}=0,3 \times 0,03 + 0,7 \times 0,05 =0,009+0,035=0,044= 0,009 +0,035=0,044

    2. La probabilité cherchée est PE(U)P_E(U).

      D'après la formule des probabilités conditionnelles :

      PE(U)=P(EU)P(E)P_E(U)=\dfrac{P(E\cap U)}{P(E)} =0,0090,044=9440,205=\dfrac{0,009}{0,044}=\dfrac{9}{44}\approx 0,205

  1. Posons p(U)=xp(U)=x. Alors p(V)=1xp(V)=1 - x.

    L'arbre obtenu est alors :

    arbre pondéré Pondichery 2018

    On a donc :

    pE(U)=p(EU)p(E)=x×pU(E)x×pU(E)+(1x)×pV(E)p_E(U)=\dfrac{p(E\cap U)}{p(E)} = \dfrac{x\times p_U(E)}{x\times p_U(E) +(1 - x)\times p_V(E)}
    pE(U)=0,03x0,03x+0,05(1x)=0,03x0,050,02x\phantom{p_E(U)}=\dfrac{0,03x}{0,03x +0,05(1 - x)}=\dfrac{0,03x}{0,05 - 0,02x}

    Par conséquent :

    pE(U)=0,30,03x0,050,02x=0,3p_E(U)=0,3 \Leftrightarrow \dfrac{0,03x}{0,05 - 0,02x}=0,3
    pE(U)=0,30,03x=0,0150,006x\phantom{p_E(U)=0,3} \Leftrightarrow 0,03x=0,015 - 0,006x
    pE(U)=0,30,036x=0,015\phantom{p_E(U)=0,3} \Leftrightarrow 0,036x=0,015
    pE(U)=0,3x=0,0150,036=5120,417\phantom{p_E(U)=0,3} \Leftrightarrow x=\dfrac{0,015}{0,036}=\dfrac{5}{12}\approx 0,417

    Pour que, parmi les paquets portant le label « extra fin », 30 % contiennent du sucre provenant de l'exploitation U, l'entreprise doit s'approvisionner à 41,7% auprès de l'exploitation U.

Partie C

  1. D'après l'entreprise, la proportion de paquets de sucre portant le label «extra fin» provenant de l’exploitation U est p=0,3p = 0,3.

    La taille de l'échantillon est n=150n=150.

    On vérifie que : \begin{itbullet}

  2. n=15030n=150 \geqslant 30 ;

  3. np=150×0,3=455np=150 \times 0,3=45\geqslant 5 ;

  4. n(1p)=150×0,7=1055n(1 - p)=150 \times 0,7=105\geqslant 5. \end{itbullet} Les conditions de validité étant remplies, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%95\% est :

    I=[p1,96p(1p)n ; p+1,96p(1p)n]. I=\left[p - 1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}\right].

    p1,96p(1p)n=0,31,960,3(10,3)150p - 1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}=0,3 - 1,96\dfrac{\sqrt{0,3(1 - 0,3)}}{\sqrt{150}}
    p1,96p(1p)n0,226\phantom{p - 1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}} \approx 0,226 (arrondi au millième par défaut).

    p+1,96p(1p)n=0,3+1,960,3(10,3)150p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}=0,3+1,96\dfrac{\sqrt{0,3(1 - 0,3)}}{\sqrt{150}}
    p+1,96p(1p)n0,374\phantom{p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}} \approx 0,374 (arrondi au millième par excès).

    L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%95\% de la proportion de paquets provenant de l’exploitation U est donc :

    I=[0,226 ; 0,374]. I=[0,226~;~0,374].

    La fréquence observée des paquets provenant de l’exploitation U est f=30150=0,2f=\dfrac{30}{150}=0,2.

    Comme 0,2I0,2 \notin I, on peut donc rejeter l'affirmation de l'entreprise avec un risque d'erreur inférieur à 5%.

  5. La taille de l'échantillon est n=150n=150.

    La fréquence observée de paquets provenant de l'exploitation U est f=0,42f=0,42

    On vérifie que : \begin{itbullet}

  6. n=15030n=150 \geqslant 30 ;

  7. nf=150×0,42=635nf=150 \times 0,42=63\geqslant 5 ;

  8. n(1f)=150×0,58=875n(1 - f)=150 \times 0,58=87\geqslant 5. \end{itbullet} Les conditions de validité étant remplies, un intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 % est :

    I=[f1n ;f+1n]. I=\left[ f - \dfrac{1}{\sqrt{n}}~; f+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right].

    f1n0,338f - \dfrac{1}{\sqrt{n}} \approx 0,338 (arrondi au millième par défaut).

    f+1n0,502f+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \approx 0,502 (arrondi au millième par excès).

    Un intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 % est donc :

    I=[0,338 ; 0,502]. I=[0,338~;~0,502] .