1. $X_{\text{ U}}$ suit la loi normale de moyenne $\mu_{\text{ U}} = 0,58$ et d'écart type $\sigma_{\text{ U}} = 0,21$.

   À la calculatrice, on trouve :

   $p\left(X_{\text{ U}}<0,2 \right)\approx 0,035$ (au millième).

   $p\left(0,5 \leqslant X_{\text{ U}} < 0,8 \right)\approx 0,501$ (au millième).

2. $p\left(X_{\text{ U}}<0,2 \right)\approx 0,035$ donc 3,5% des cristaux se retrouvent dans le récipient à fond étanche.

   Pour 1 800g de sucre, cela correspond à une masse d'environ $1~800 \times 0,035~=~63$ grammes (arrondie au gramme).

   $p\left(0,5 \leqslant X_{\text{ U}}<0,8 \right)\approx 0,501$ donc 50,1% des cristaux se retrouvent dans le tamis 2 .

   Pour 1 800g de sucre, cela correspond à une masse d'environ $1~800 \times 0,501~=~902$ grammes (arrondie au gramme).

Posons $Z=\dfrac{X_{\text{V}} - \mu_{\text{V}}}{\sigma_{\text{V}}} = \dfrac{X_{\text{V}} - 0,65}{\sigma_{\text{V}}}$

Puisque $X_{\text{V}}$ suit la loi normale de moyenne $\mu_{\text{ V}} = 0,58$ et d'écart type $\sigma_{\text{V}}$, $Z$ suit la loi normale centrée réduite.

D'après l'énoncé, 40 % des cristaux se retrouvent dans le tamis 2 donc :

$p\left(0,5 \leqslant X_{\text{ V}}<0,8 \right)= 0,4$.

Or :

$0,5 \leqslant X_{\text{ V}}<0,8~ \Leftrightarrow ~0,5 - 0,65\leqslant X_{\text{ V}} - 0,65<0,8 - 0,65$
$\phantom{0,5 \leqslant X_{\text{ V}}<0,8}~ \Leftrightarrow ~ - 0,15\leqslant X_{\text{ V}} - 0,65<0,15$
$\phantom{0,5 \leqslant X_{\text{ V}}<0,8}~ \Leftrightarrow ~ - \dfrac{0,15}{\sigma_{\text{V}}} \leqslant Z<\dfrac{0,15}{\sigma_{\text{V}}}$

Par conséquent :

$p\left( - \dfrac{0,15}{\sigma_{\text{V}}} \leqslant Z<\dfrac{0,15}{\sigma_{\text{V}}} \right) =0,4$

où $Z$ suit la loi normale centrée réduite.

À la calculatrice on trouve $p\left( - 0,524 \leqslant Z<0,524\right) =0,4$.

Donc $\dfrac{0,15}{\sigma_{\text{V}}}\approx 0,524$ et $\sigma_{\text{V}} \approx \dfrac{0,15}{0,524}\approx 0,286$.

1. On cherche à calculer $p(E)$.

   On peut modéliser la situation à l'aide de l'arbre ci-dessous :

   

   Le sucre provenant soit de l'exploitation U, soit de l'exploitation V, les événements $U$ et $V$ forment une partition de l'univers.

   D'après la formule des probabilités totales :

   $p(E)=p(U) \times p_U(E) +p(V) \times p_V(E)$
   $\phantom{P(E)}=0,3 \times 0,03 + 0,7 \times 0,05$ $= 0,009 +0,035=0,044$

2. La probabilité cherchée est $P_E(U)$.

   D'après la formule des probabilités conditionnelles :

   $P_E(U)=\dfrac{P(E\cap U)}{P(E)}$ $=\dfrac{0,009}{0,044}=\dfrac{9}{44}\approx 0,205$

Posons $p(U)=x$. Alors $p(V)=1 - x$.

L'arbre obtenu est alors :

On a donc :

$p_E(U)=\dfrac{p(E\cap U)}{p(E)} = \dfrac{x\times p_U(E)}{x\times p_U(E) +(1 - x)\times p_V(E)}$
$\phantom{p_E(U)}=\dfrac{0,03x}{0,03x +0,05(1 - x)}=\dfrac{0,03x}{0,05 - 0,02x}$

Par conséquent :

$p_E(U)=0,3 \Leftrightarrow \dfrac{0,03x}{0,05 - 0,02x}=0,3$
$\phantom{p_E(U)=0,3} \Leftrightarrow 0,03x=0,015 - 0,006x$
$\phantom{p_E(U)=0,3} \Leftrightarrow 0,036x=0,015$
$\phantom{p_E(U)=0,3} \Leftrightarrow x=\dfrac{0,015}{0,036}=\dfrac{5}{12}\approx 0,417$

Pour que, parmi les paquets portant le label « extra fin », 30 % contiennent du sucre provenant de l'exploitation U, l'entreprise doit s'approvisionner à 41,7% auprès de l'exploitation U.

D'après l'entreprise, la proportion de paquets de sucre portant le label «extra fin» provenant de l’exploitation U est $p = 0,3$.

La taille de l'échantillon est $n=150$.

On vérifie que : \begin{itbullet}

$n=150 \geqslant 30$ ;

$np=150 \times 0,3=45\geqslant 5$ ;

$n(1 - p)=150 \times 0,7=105\geqslant 5$. \end{itbullet} Les conditions de validité étant remplies, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :

$p - 1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}=0,3 - 1,96\dfrac{\sqrt{0,3(1 - 0,3)}}{\sqrt{150}}$
$\phantom{p - 1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}} \approx 0,226$ (arrondi au millième par défaut).

$p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}=0,3+1,96\dfrac{\sqrt{0,3(1 - 0,3)}}{\sqrt{150}}$
$\phantom{p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}} \approx 0,374$ (arrondi au millième par excès).

L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de paquets provenant de l’exploitation U est donc :

La fréquence observée des paquets provenant de l’exploitation U est $f=\dfrac{30}{150}=0,2$.

Comme $0,2 \notin I$, on peut donc rejeter l'affirmation de l'entreprise avec un risque d'erreur inférieur à 5%.

La taille de l'échantillon est $n=150$.

La fréquence observée de paquets provenant de l'exploitation U est $f=0,42$

On vérifie que : \begin{itbullet}

$n=150 \geqslant 30$ ;

$nf=150 \times 0,42=63\geqslant 5$ ;

$n(1 - f)=150 \times 0,58=87\geqslant 5$. \end{itbullet} Les conditions de validité étant remplies, un intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 % est :

$f - \dfrac{1}{\sqrt{n}} \approx 0,338$ (arrondi au millième par défaut).

$f+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \approx 0,502$ (arrondi au millième par excès).

Un intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 % est donc :