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Ensemble de points dont l'affixe vérifie une condition

Situation

On vous demande de trouver l'ensemble des points MM du plan complexe dont l'affixe zz vérifie une certaine condition.

Exemples

  1. Déterminer l'ensemble des points MM d'affixe zz tels que z−1z+i \frac{z - 1}{z+i} soit un imaginaire pur.

  2. Déterminer l'ensemble des points MM d'affixe zz tels que ∣z−1+i∣=1\left| z - 1+i\right| =1 .

1 - Méthode algébrique

Méthode

On pose z=x+iyz=x+iy (avec x∈R, y∈Rx \in \mathbb{R},\ y \in\mathbb{R}) dans la condition et l'on essaie de se ramener à une équation cartésienne.

Rappels

    \item Une équation cartésienne d'une droite dans le plan est de la forme :

    ax+by+c=0ax+by+c=0

    \item Une équation cartésienne du cercle de centre \Omega (x_0\~;\ y_0) et de rayon rr est :

    (x−x0)2+(y−y0)2=r2(x - x_0)^2+(y - y_0)^2=r^2

    ┘

Exemple 1

Déterminer l'ensemble des points MM d'affixe zz tels que z−1z+i \frac{z - 1}{z+i} soit un imaginaire pur.

Tout d'abord notons que z−1z+i \frac{z - 1}{z+i} n'est défini que si z≠−iz \neq - i.

Pour z≠−iz \neq - i, on pose z=x+iyz=x+iy :

z−1z+i=x+iy−1x+iy+i=x+iy−1x+i(y+1) \frac{z - 1}{z+i}=\frac{x+iy - 1}{x+iy+i}=\frac{x+iy - 1}{x+i(y+1)}

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :

z−1z+i=(x+iy−1)(x−iy−i)(x+i(y+1))(x−i(y+1)){\frac{z - 1}{z+i}}=\frac{(x+iy - 1)(x - iy - i)}{(x+i(y+1))(x - i(y+1))}

z−1z+i=x2−ixy−ix+ixy+y2+y−x+iy+ix2+(y+1)2\phantom {\frac{z - 1}{z+i}}=\frac{x^2 - ixy - ix+ixy+y^2+y - x+iy+i}{x^2+(y+1)^2}

On réduit et on sépare partie réelle et partie imaginaire :

z−1z+i=x2+y2−x+yx2+(y+1)2+i−x+y+1x2+(y+1)2{\frac{z - 1}{z+i}}=\frac{x^2+y^2 - x+y}{x^2+(y+1)^2}+i\frac{ - x+y+1}{x^2+(y+1)^2}

z−1z+i{\frac{z - 1}{z+i}} est un imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle donc si et seulement si x2+y2−x+y=0x^2+y^2 - x+y = 0.

En remarquant que x2−xx^2 - x est le début de l'identité remarquable (x−12)2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 on trouve x2−x=(x−12)2−14x^2 - x=\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}.

De même, y2+y=(y+12)2−14y^2+y=\left(y+ \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}.

L'équation x2+y2−x+y=0x^2+y^2 - x+y = 0 est donc équivalente à :

(x−12)2−14\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}+(y+12)2−14=0+\left(y+ \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} = 0

(x−12)2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 +(y+12)2=12+\left(y+ \frac{1}{2}\right)^2 =\frac{1}{2}

D'après le rappel, l'ensemble cherché est donc le cercle de centre \Omega \left( \frac{1}{2}\~; \ - \frac{1}{2}\right) et de rayon r=12=22r=\frac{1}{ \sqrt{2} }=\frac{ \sqrt{2} }{2}. Il faut toutefois retrancher à cet ensemble le point AA d'affixe −i - i pour lequel le rapport z−1z+i{\frac{z - 1}{z+i}} n'est pas défini. lieu géométrique On pourrait également traiter l'exemple 2 de manière algébrique. On va voir que la méthode géométrique est plus plus rapide et nécessite moins de calculs.

2 - Méthode géométrique

Méthode

Cette méthode est particulièrement adaptée au cas où la condition est exprimée à l'aide de module.

On utilise le résultat suivant :

Si MM est un point d'affixe zz et AA un point d'affixe aa alors ∣z−a∣|z - a| s'interprète géométriquement comme la distance AMAM.

La condition imposée peut alors s'interpréter en terme de distance.

Rappels

    \item L'ensemble des points du plan tels que AM=BMAM=BM est la médiatrice du segment [AB][AB] \item L'ensemble des points du plan tels que AM=rAM=r est :

    • le cercle de centre AA et de rayon rr si r>0r > 0

    • le point AA si r=0r = 0

    • l'ensemble vide si r<0r < 0

    ┘

Exemple 2

Déterminer l'ensemble des points MM d'affixe zz tels que ∣z−1+i∣=1\left| z - 1+i\right| =1 .

On écrit ∣z−1+i∣\left| z - 1+i\right| =∣z−(1−i)∣= \left| z - (1 - i)\right| (qui est de la forme ∣z−a∣|z - a| avec a=1−ia=1 - i).

On place le point AA d'affixe 1−i1 - i. On a alors ∣z−(1−i)∣=AM\left| z - (1 - i)\right| = AM .

La condition ∣z−1+i∣=1\left| z - 1+i\right| =1 s'écrit alors AM=1AM = 1. L'ensemble cherché est donc le cercle de centre A(1−i)A(1 - i) et de rayon 11. méthode lieu géométrique

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