Nombres complexes – Bac S Nouvelle Calédonie 2016

Exercice 4 - 5 points

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère les nombres complexes $z_n$ définis, pour tout entier naturel $n$ , par

$z_0 = 1\quad \text{et}\quad z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n.$

On note $A_n$ le point d'affixe $z_n$ dans le repère orthonormé $(O~;~\vec{u},\vec{v})$ (voir figure en fin de sujet).

L'objet de cet exercice est d'étudier la construction des points $A_n$ .

1. Vérifier que $1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$ .
2. En déduire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle.
1. Montrer que pour tout entier naturel $n$ ,
  $z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n \text{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}}.$
2. Pour quelles valeurs de $n$ , les points $O,~A_0$ et $A_n$ sont-ils alignés ?
Pour tout entier naturel $n$ , on pose $d_n = \left|z_{n+1} - z_n\right|$ .
1. Interpréter géométriquement $d_n$ .
2. Calculer $d_0$ .
3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul,
  $z_{n+2} - z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \left(z_{n+1} - z_n\right).$
4. En déduire que la suite $\left(d_n\right)_{n \geqslant 0}$ est géométrique puis que pour tout entier naturel $n$ ,
  $d_n = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n.$
1. Montrer que pour tout entier naturel $n$ ,
  $\left|z_{n+1}\right|^2 = \left|z_{n}\right|^2+d_n^2.$
2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ , le triangle $OA_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_n$ .
3. Construire, à la règle non graduée et au compas, le point $A_5$ sur la figure ci-dessous à rendre avec la copie.
4. Justifier cette construction.