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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Suites et Fonctions – Bac S Pondichéry 2018

Exercice 1 (6 points)

Commun à tous les candidats

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Dans une usine, un four cuit des céramiques à la température de 1 000 ° C. À la fin de la cuisson, il est éteint et il refroidit.

On s'intéresse à la phase de refroidissement du four, qui débute dès l'instant où il est éteint.

La température du four est exprimée en degré Celsius (° C).

La porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques dès que sa température est inférieure à 7070° C. Sinon les céramiques peuvent se fissurer, voire se casser.

Partie A

Pour un nombre entier naturel nn, on note TnT_n la température en degré Celsius du four au bout de nn heures écoulées à partir de l'instant où il a été éteint. On a donc T0=1 000T_0 = 1~000.

La température TnT_n est calculée par l'algorithme suivant :

algorithme suite arithmético-géométrique

  1. Déterminer la température du four, arrondie à l'unité, au bout de 44 heures de refroidissement.

  2. Démontrer que, pour tout nombre entier naturel nn, on a : Tn=980×0,82n+20T_n = 980 \times 0,82^n + 20.

  3. Au bout de combien d'heures le four peut-il être ouvert sans risque pour les céramiques ?

Partie B

Dans cette partie, on note tt le temps (en heure) écoulé depuis l'instant où le four a été éteint.

La température du four (en degré Celsius) à l'instant tt est donnée par la fonction ff définie, pour tout nombre réel tt positif, par :

f(t)=ae−t5+b,f(t) = a\text{e}^{ - \frac{t}{5}} + b,

où aa et bb sont deux nombres réels.

On admet que ff vérifie la relation suivante : f′(t)+15f(t)=4f^{\prime}(t) + \dfrac{1}{5}f(t) = 4.

  1. Déterminer les valeurs de aa et bb sachant qu'initialement, la température du four est de 1 0001~000 ° C, c'est-à-dire que f(0)=1 000f(0) = 1~000.

  2. Pour la suite, on admet que, pour tout nombre réel positif tt :

    f(t)=980e−t5+20.f(t) = 980\text{e}^{ - \frac{t}{5}} + 20.

    1. Déterminer la limite de ff lorsque tt tend vers +∞+ \infty.

    2. Étudier les variations de ff sur [0 ; +∞[[0~;~+ \infty[.

      En déduire son tableau de variations complet.

    3. Avec ce modèle, après combien de minutes le four peut-il être ouvert sans risque pour les céramiques ?

  3. La température moyenne (en degré Celsius) du four entre deux instants t1t_1 et t2t_2 est donnée par : 1t2−t1∫t1t2f(t)dt\dfrac{1}{t_2 - t_1}\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} f(t)\:\text{d}t.

    1. À l'aide de la représentation graphique de ff ci-dessous, donner une estimation de la température moyenne θ\theta du four sur les 1515 premières heures de refroidissement.

      Expliquer votre démarche.

      fonction température du four

    2. Calculer la valeur exacte de cette température moyenne θ\theta et en donner la valeur arrondie au degré Celsius.

  4. Dans cette question, on s'intéresse à l'abaissement de température (en degré Celsius) du four au cours d'une heure, soit entre deux instants tt et (t+1)(t + 1). Cet abaissement est donné par la fonction dd définie, pour tout nombre réel tt positif, par : d(t)=f(t)−f(t+1)d(t) = f(t) - f(t + 1).

    1. Vérifier que. pour tout nombre réel tt positif : d(t)=980(1−e−15)e−t5d(t) = 980\left(1 - \text{e}^{ - \frac{1}{5}}\right)\text{e}^{ - \frac{t}{5}}.

    2. Déterminer la limite de d(t)d(t) lorsque tt tend vers +∞+ \infty.

      Quelle interprétation peut-on en donner ?

Corrigé

Partie A

  1. La température du four au bout de 4 heures de refroidissement est égale à T4T_4.

    L'algorithme fourni par l'énoncé conduit à la relation de récurrence :

    Tn+1=0,82Tn+3,6T_{n+1}=0,82T_n+3,6

    Pour trouver T4T_4 on peut :

    • programmer l'algorithme sur sa calculatrice

    • utiliser le menu suite de la calculatrice

    • calculer directement T1,T2,T3,T4T_1, T_2, T_3, T_4.

    T1=0,82T0+3,6T_1=0,82 T_0 + 3,6 =0,82×1 000+3,6= 0,82 \times 1\ 000+3,6≈824 \approx 824
    T2=0,82T1+3,6≈679T_2=0,82 T_1 + 3,6 \approx 679
    T3=0,82T2+3,6≈560T_3=0,82 T_2 + 3,6 \approx 560
    T4=0,82T3+3,6≈463T_4=0,82 T_3 + 3,6 \approx 463

    La température du four au bout de 4 heures de refroidissement est T4≈463T_4\approx 463 ° C (arrondie à l'unité).

  2. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel nn :

    Tn=980×0,82n+20 T_n=980 \times 0,82^n + 20

    Initialisation

    T0=1 000T_0=1~000 et 980×0,820+20=1 000980 \times 0,82^0+20=1~000

    La propriété est donc vraie au rang 0.

    Hérédité

    Supposons que pour un certain entier naturel nn : Tn=980×0,82n+20T_n=980 \times 0,82^n + 20 et montrons que Tn+1=980×0,82n+1+20T_{n+1} = 980 \times 0,82^{n+1} + 20 .

    Tn+1=0,82Tn+3,6T_{n+1}=0,82T_n+3,6
    Tn+1=0,82×(980×0,82n+20)+3,6\phantom{T_{n+1}}=0,82\times \left( 980 \times 0,82^n + 20\right) +3,6
    Tn+1=980×0,82n+1+16,4+3,6\phantom{T_{n+1}}=980 \times 0,82^{n+1} + 16,4+3,6
    Tn+1=980×0,82n+1+20\phantom{T_{n+1}}=980 \times 0,82^{n+1} + 20

    La propriété est donc héréditaire.

    Conclusion

    Pour tout entier naturel nn :

    Tn=980×0,82n+20 T_n=980 \times 0,82^n + 20

  3. Le four peut être ouvert sans risque pour les céramiques si et seulement si Tn⩽70T_n \leqslant 70.

    Tn⩽70⇔980×0,82n+20⩽70T_n \leqslant 70 \Leftrightarrow 980 \times 0,82^n + 20 \leqslant 70
    Tn⩽70⇔0,82n⩽50980\phantom{T_n \leqslant 70} \Leftrightarrow 0,82^n \leqslant \dfrac{50}{980}

    La fonction ln\ln étant strictement croissante sur ]0 ; +∞[]0~;~+\infty[ :

    Tn⩽70⇔nln(0,82)⩽ln(598)\phantom{T_n \leqslant 70} \Leftrightarrow n\ln(0,82) \leqslant \ln\left( \dfrac{5}{98}\right)

    Comme ln(0,82)<0\ln(0,82)<0 on divise par ln(0,82)\ln(0,82) en changeant le sens de l'inégalité :

    Tn⩽70⇔n⩾ln(598)ln(0,82)≈14,99.\phantom{T_n \leqslant 70} \Leftrightarrow n \geqslant \dfrac{\ln\left( \dfrac{5}{98}\right)}{\ln(0,82)}\approx 14,99.

    Le four peut être ouvert sans risque pour les céramiques au bout de 15 heures.

Partie B

  1. ff est dérivable sur [0 ; +∞[[0~;~+\infty[ et :

    f′(t)=−a5e−t5f^{\prime}(t)= - \dfrac{a}{5}\text{e}^{ - \frac{t}{5}}.

    La condition f′(t)+15f(t)=4f^{\prime}(t)+\dfrac{1}{5}f(t)=4 s'écrit alors :

    −a5e−t5+a5e−t5+b5=4 - \dfrac{a}{5}\text{e}^{ - \frac{t}{5}} + \dfrac{a}{5}\text{e}^{ - \frac{t}{5}} + \dfrac{b}{5} = 4

    Donc b5=4 \dfrac{b}{5} = 4 et b=20b=20.

    De plus f(0)=1 000f(0) = 1~000 donc ae0+20=1 000a\text{e}^0+20=1~000 et a=980a=980.

    ff est donc définie sur [0 ; +∞[[0~;~+\infty[ par f(t)=980e−t5+20f(t)=980\text{e}^{ - \frac{t}{5}} + 20.

    1. limt→+∞−t5=−∞\lim\limits_{t \rightarrow +\infty} - \dfrac{t}{5} = - \infty

      limx→−∞ex=0\lim\limits_{x \rightarrow - \infty}\text{e}^{x} = 0

      Donc par composition :

      limx→−∞e−t5=0\lim\limits_{x \rightarrow - \infty}\text{e}^{ - \frac{t}{5}} = 0

      et

      limx→−∞f(t)=limx→−∞980e−t5+20=20.\lim\limits_{x \rightarrow - \infty}f(t) = \lim\limits_{x \rightarrow - \infty}980\text{e}^{ - \frac{t}{5}} + 20 = 20.

    2. Pour tout réel positif tt, f′(t)=−196e−t5f^{\prime}(t)= - 196\text{e}^{ - \frac{t}{5}} est strictement négatif. La fonction ff est donc strictement décroissante sur [0 ; +∞[[0~;~+\infty[.

      On obtient alors le tableau de variation suivant :

      tableau de variations

    3. Le four peut être ouvert sans risque pour les céramiques si et seulement si f(t)⩽70f(t) \leqslant 70.

      f(t)⩽70⇔980e−t5+20⩽70f(t) \leqslant 70 \Leftrightarrow 980\text{e}^{ - \frac{t}{5}} + 20 \leqslant 70
      f(t)⩽70⇔e−t5⩽50980\phantom{f(t) \leqslant 70} \Leftrightarrow \text{e}^{ - \frac{t}{5}} \leqslant \dfrac{50}{980}

      La fonction ln\ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[]0~;~+\infty[, donc :

      f(t)⩽70⇔lne−t5⩽ln598\phantom{f(t) \leqslant 70} \Leftrightarrow \ln \text{e}^{ - \frac{t}{5}} \leqslant \ln\dfrac{5}{98}
      f(t)⩽70⇔t⩾−5ln598≈14,88\phantom{f(t) \leqslant 70} \Leftrightarrow t \geqslant - 5\ln\dfrac{5}{98} \approx 14,88

      On peut ouvrir le four sans risque au bout de 14,88 heures soit 14,88×\times60≈\approx893 minutes.

    1. L'intégrale ∫015f(t)dt\displaystyle\int_{0}^{15}f(t)\text{d}t est égale à l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe Cf\mathcal{C}_f, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=15x=15.

      courbe et intégrale

      En comptant les carreaux rectangulaires du graphique, on peut estimer cette aire a environ 50 carreaux soit 5 000 U.A.

      Une valeur approchée de la température moyenne θ\theta est donc :

      θ≈115×500≈333\theta \approx \dfrac{1}{15} \times 500 \approx 333° C

    2. Une primitive de la fonction ff est la fonction FF définie sur [0 ; +∞[[0~;~+\infty[ par F(t)=−5×980e−t5+20tF(t)= - 5 \times 980\text{e}^{ - \frac{t}{5}} + 20t =−4 900e−t5+20t= - 4~900\text{e}^{ - \frac{t}{5}} + 20t.

      On a donc : θ=115∫015f(t)dt=115(F(15)−F(0))\theta =\dfrac{1}{15}\displaystyle\int_{0}^{15}f(t)\text{d}t=\dfrac{1}{15}\left(F(15) - F(0)\right)
      θ=−980e−3+1 0403\theta = \dfrac{ - 980\text{e}^{ - 3}+1~040}{3}
      θ≈330\theta \approx 330° C (arrondi au degré).

    1. Pour tout réel tt positif ou nul :

      d(t)=f(t)−f(t+1)d(t) = f(t) - f(t + 1)
      d(t)=(980e−t5+20)\phantom{d(t)}=\left(980\text{e}^{ - \frac{t}{5}} + 20 \right)−(980e−t+15+20) - \left(980\text{e}^{ - \frac{t+1}{5}} + 20 \right)
      d(t)=980(e−t5−e−t+15)\phantom{d(t)} =980\left(\text{e}^{ - \frac{t}{5}} - \text{e}^{ - \frac{t+1}{5}}\right)
      d(t)=980(1−e−15)e−t5\phantom{d(t)} = 980\left(1 - \text{e}^{ - \frac{1}{5}}\right)\text{e}^{ - \frac{t}{5}}

    2. limt→+∞−t5= −∞\lim\limits_{t \rightarrow +\infty} - \dfrac{t}{5}=~ - \infty

      Donc :

      limt→+∞e−t5=0\lim\limits_{t \rightarrow +\infty} \text{e}^{ - \frac{t}{5}} = 0

      et limt→+∞d(t)=0\lim\limits_{t \rightarrow +\infty} d(t)=0.

      Il est difficile de trouver une interprétation correcte de ce résultat.

      On peut certes dire que la température se stabilise au cours du temps mais cela résulte du fait que limt→+∞f(t)=20\lim\limits_{t \rightarrow +\infty} f(t)=20 et non du fait que limt→+∞d(t)=0\lim\limits_{t \rightarrow +\infty} d(t)=0.

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