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Nombres complexes - Calcul sinus et cosinus pi/12

Soient z=1+i3z=1+i\sqrt{3} et z′=1−iz^{\prime}=1 - i

  1. Donner la forme algébrique puis la forme exponentielle de zz′zz^{\prime}

  2. En déduire les valeurs de sin(π12)\sin\left(\frac{\pi }{12}\right) et cos(π12)\cos\left(\frac{\pi }{12}\right)

Corrigé

  1. Forme algébrique :

    zz′=(1+i3)(1−i)=1+i3−i−i23=1+3+i(−1+3)zz^{\prime}=\left(1+i\sqrt{3}\right)\left(1 - i\right)=1+i\sqrt{3} - i - i^{2}\sqrt{3}=1+\sqrt{3}+i\left( - 1+\sqrt{3}\right)

    Forme exponentielle :

    ∣z∣=1+3=4=2|z|=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2

    Si θ\theta est l'argument de zz:

    cosθ=12\cos \theta = \frac{1}{2} et sinθ=32\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} donc θ=π3(mod. .2π)\theta =\frac{\pi }{3} \left(\text{mod. }. 2\pi \right)

    Donc :

    z=2eiπ3z=2e^{i\frac{\pi }{3}}

    De même :

    ∣z′∣=1+1=2|z^{\prime}|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}

    Si θ′\theta ^{\prime} est l'argument de z′z^{\prime}:

    cosθ′=12=22\cos \theta ^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} et sinθ′=−12=−22\sin \theta ^{\prime} = - \frac{1}{\sqrt{2}}= - \frac{\sqrt{2}}{2} donc θ′=−π4(mod. .2π)\theta ^{\prime}= - \frac{\pi }{4} \left(\text{mod. }. 2\pi \right)

    Par conséquent :

    z′=2e−iπ4z^{\prime}=\sqrt{2}e^{ - i\frac{\pi }{4}}

    Finalement :

    zz′=2eiπ3×2e−iπ4=22ei(π3−π4)=22eiπ12zz^{\prime}=2e^{i\frac{\pi }{3}}\times \sqrt{2}e^{ - i\frac{\pi }{4}}=2\sqrt{2}e^{i \left(\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}\right)}=2\sqrt{2}e^{i \frac{\pi }{12}}

  2. D'après la question précédente :

    zz′=22(cos(π12)+isin(π12))zz^{\prime}=2\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi }{12}\right)+i \sin\left(\frac{\pi }{12}\right)\right)

    et

    zz′=1+3+i(−1+3)zz^{\prime}=1+\sqrt{3}+i\left( - 1+\sqrt{3}\right)

    Donc :

    cos(π12)=3+122=6+24\cos\left(\frac{\pi }{12}\right)=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

    sin(π12)=3−122=6−24\sin\left(\frac{\pi }{12}\right)=\frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

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