Un vecteur directeur de la droite $(CD)$ est le vecteur $\overrightarrow{CD}$ de coordonnées $\begin{pmatrix} 4\\0\\ - 4 \end{pmatrix}$. Cette droite passe par le point $C(0~;~3~;~2)$.

Une représentation paramétrique de la droite $(CD)$ est donc :

1. Si $M$ est un point de la droite $(CD)$, ses coordonnées sont de la forme $(t~;~3~;~2 - t)$ où $t \in \mathbb{R}$

   La distance $BM$ vaut alors :

   $BM=\sqrt{\left(t - 4 \right)^2+\left(4 \right)^2+\left(2 - t \right)^2}$
   $BM=\sqrt{2t^2 - 12t+36}$

   La distance $BM$ est minimale lorsque $2t^2 - 12t+36$ est minimal, c'est à dire pour $t= - \dfrac{b}{2a}= - \dfrac{ - 12}{4}=3$

   En remplaçant $t$ par $3$ dans les coordonnées du point $M$, on obtient que la distance $BM$ est minimale pour $M(3~;~3~;~ - 1)$.

2. Le vecteur $\overrightarrow{BH}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} - 1\\4\\ - 1\end{pmatrix}$.

   Le vecteur $\overrightarrow{CD}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}4\\0\\ - 4\end{pmatrix}$.

   Le produit scalaire $\overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{CD}$ vaut donc :

   $\overrightarrow{HB}\cdot \overrightarrow{CD} = - 1 \times 4+ 4 \times 0 - 1 \times ( - 4)= 0$

   Les droites $(BH)$ et $(CD)$ sont donc orthogonales et comme elles sont sécantes en $H$, elles sont perpendiculaires.

3. D'après la question précédente, $(BH)$ est la hauteur issue de $B$ dans le triangle $BCD$.

   Par conséquent, l'aire du triangle $BCD$ est égale à :

   $\mathscr{A}=\dfrac{1}{2} \times CD \times BH$$=\dfrac{1}{2}\times \sqrt{32} \times \sqrt{18}$$=\dfrac{1}{2}\sqrt{576}=12$cm$^2$

1. Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $(BCD)$ si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

   Les vecteurs $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} - 4\\4\\2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 4\\0\\ - 4 \end{pmatrix}$ ne sont pas colinéaires et :

   $\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{BC}= - 4 \times 2+4 \times 1+2\times 2=0$
   $\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{CD}=4 \times 2+0\times 1 - 4\times 2=0$

   Le vecteur$\overrightarrow{n}$ est donc bien normal au plan $(BCD)$.

2. Le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ est normal au plan $(BCD)$ donc ce plan admet une équation cartésienne de la forme : $2x+y+2z+d=0$ où $d \in \mathbb{R}$.

   Par ailleurs, le point $B(4~;~ - 1~;~0)$ appartient à ce plan donc ses coordonnées vérifient l'équation du plan.

   Par conséquent $2 \times 4 - 1+2 \times 0+d=0$ donc $d= - 7$.

   Une équation cartésienne du plan $(BCD)$ est donc $2x+y+2z - 7=0$.

3. $\Delta$ étant orthogonale au plan $(BCD)$, le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur directeur de $\Delta$. Comme par ailleurs la droite $\Delta$ passe par le point $A(2~;~1~;~4)$, une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est :

   $\begin{cases} x=2+2t\\y=1+t\\z=4+2t \end{cases}~~(t\in \mathbb{R})$

4. Soient $(x~;~y~;~z)$ les coordonnées du point $I$, intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(BCD)$.

   Il existe une valeur de $t$ telle que les coordonnées de $I$ vérifient simultanément les équations :

   $\begin{cases} x=2+2t\\y=1+t\\z=4+2t\\2x+y+2z - 7=0 \end{cases}$

   On a alors :

   $2(2+2t)+(1+t)+2(4+2t) - 7=0$

   soit $9t= - 6$ et donc $t= - \dfrac{2}{3}$.

   Les coordonnées de $I$ sont donc :

   $x=2+2t=\dfrac{2}{3}$
   $y=1+t=\dfrac{1}{3}$
   $z=4+2t=~\dfrac{8}{3}$
   

D'après les questions précédentes, la droite $(AI)$ est la perpendiculaire au plan $(BCD)$ passant par $A$.

Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AI}$ sont $\begin{pmatrix} - 4/3\\ - 2/3\\ - 4/3\end{pmatrix}$.

La hauteur du tétraèdre $ABCD$ associée à la base $BCD$ est donc :

$AI=\sqrt{\left( - \dfrac{4}{3} \right)^2+\left( - \dfrac{2}{3} \right)^2+\left( - \dfrac{4}{3} \right)^2}=2$cm.

Le volume du tétraèdre $ABCD$ est alors :

$\mathscr{V}=\dfrac{1}{3} \times \mathscr{A} \times AI =\dfrac{1}{3} \times 12 \times 2=8$cm$^3$.