Nombres complexes - Lieux géométriques - 2
Dans le plan complexe, déterminer l'ensemble des points d'affixe tels que soit un nombre imaginaire pur.
Corrigé
Indications
L'idée est d'appliquer la formule sur les angles et arguments mais il faut aussi bien traiter les cas «limites» qui pour lesquels le numérateur ou le dénominateur s'annule.
Tout d'abord, notons que le rapport n'est pas défini pour donc le point d'affixe n'appartient pas à l'ensemble .
Ensuite pour , qui est bien un imaginaire pur () donc le point d'affixe appartient à l'ensemble .
Enfin, si et , le rapport peut s'écrire où et sont les points d'affixes respectives et .
Le nombre non nul est un imaginaire pur si et seulement si son argument vaut ou (modulo ).
Or d'après le cours
Remarque
Cette propriété ne s'applique que si et ) (sinon l'angle n'existe pas!).
C'est pourquoi on a traité les cas "limites" et séparément.
Le nombre est donc un imaginaire pur si et seulement si l'angle est un angle droit.
Or on sait que l'angle est un angle droit si et seulement si appartient au cercle de diamètre .
L'ensemble est donc le cercle de diamètre privé du point (mais on conserve le point ).
