Soit $r$ le module de $\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i$ :

$r^2=\left(\frac{3}{4}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$

Donc :

$r=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)$

Si $\theta$ est un argument de $\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i$ :

$cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin \theta = \frac{1}{2}$ donc $\theta = \frac{\pi }{6} + 2k\pi$.

La forme exponentielle du nombre complexe $\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i$ est donc $\frac{\sqrt{3}}{2}e^{i\frac{\pi }{6}}$

1. $z_{n+1}=\left(\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i\right)z_{n}$ donc :

   $|z_{n+1}|=\left|\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i\right|\times \left|z_{n}\right|$

   $r_{n+1}=\frac{\sqrt{3}}{2}r_{n}$

   La suite $\left(r_{n}\right)$ est donc une suite géométrique de raison $q=\frac{\sqrt{3}}{2}$ et de premier terme $r_{0}=|z_{0}|=1$.

2. $r_{n}=r_{0}\times q^{n}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n}$

3. $OA_{n}=r_{n}$.

   $\left(r_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Comme $0 < q < 1$ la suite $\left(r_{n}\right)$ converge vers 0 lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ .

1. Voici les valeurs prises par les variables lors de l'exécution pas à pas de l'algorithme pour $P=0,5$:

   $n$	$R$	$P$	condition $R > P$
   0	1	0,5	Vraie
   1	0,866	0,5	Vraie
   2	0,75	0,5	Vraie
   3	0,6495	0,5	Vraie
   4	0,5625	0,5	Vraie
   5	0,487	0,5	Fausse

   A la fin, l'algorithme affiche la valeur $5$.

2. Cet algorithme affiche la plus petite valeur de $n$ telle que $OA_{n} \leqslant P$.

1. $OA_{n}=r_{n} , OA_{n+1}=r_{n+1}=\frac{\sqrt{3}}{2}r_{n}$ et :

   $A_{n}A_{n+1}= | z_{n+1} - z_{n} | = \left| \left(\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i\right)z_{n} - z_{n} \right| = \left| \left( - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}i\right) z_{n} \right|$

   $A_{n}A_{n+1}= \left| \left( - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}i\right) \right| \times r_{n}$

   Or :

   $\left| \left( - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}i\right) \right| ^{2} = \frac{1}{16}+\frac{3}{16}=\frac{1}{4}$

   donc $\left| \left( - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}i\right) \right| = \frac{1}{2}$ et $A_{n}A_{n+1}=\frac{1}{2}r_{n}$

   Finalement :

   $OA_{n+1}^{2} + A_{n}A_{n+1}^{2} = \frac{3}{4}r_{n}^{2}+\frac{1}{4}r_{n}^{2} = r_{n}^{2} = OA_{n}^{2}$

   Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $OA_{n}A_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$.

2. $z_{n}=r_{n} \left(\cos\frac{n\pi }{6}+i \sin\frac{n\pi }{6}\right)$

   Le point $A_{n}$ appartient à l'axe des ordonnées si et seulement si $\cos\frac{n\pi }{6} = 0$, c'est à dire $\frac{n\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$ ou $n\frac{\pi }{6}=\left(3\frac{\pi }{2}\right)+2k\pi$ ou encore $\frac{n\pi }{6}=\frac{\pi }{2} + k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$

   Or :

   $\frac{n\pi }{6}=\frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow \left(n\pi \right)=3\pi + 6k\pi \Leftrightarrow n= 3 + 6k$ (avec $k \in \mathbb{Z}$)

   Comme $n\geqslant 0$, $k$ doit être positif ou nul (donc appartenir à $\mathbb{N}$).

   Les valeurs de $n$ pour lesquelles $A_{n}$ est un point de l'axe des ordonnées sont donc

   $n= 3 + 6k$ avec $k \in \mathbb{N}$ (soit $n = 3, 9, 15, 21,$ etc.).

3. 

   Pour la construction (à l'équerre ou au compas) on utilise le fait que les triangles $OA_{n}A_{n+1}$ sont rectangles en $A_{n+1}$.