Nombres complexes - Lieux géométriques - 1
Dans le plan complexe, déterminer l'ensemble (E) des points M d'affixe z tels que :
∣z+1∣=∣z−i∣
1 - Méthode algébrique
On pose z=x+iy.
Alors :
z+1=x+1+iy
∣z+1∣=√(x+1)2+y2=√x2+2x+1+y2
z−i=x+i(y−1)
∣z−i∣=√x2+(y−1)2=√x2+y2−2y+1
L'égalité ∣z+1∣=∣z−i∣ est donc équivalente à :
√x2+2x+1+y2=√x2+y2−2y+1
x2+2x+1+y2=x2+y2−2y+1
A noter
Pour des nombres a et b positifs : a=b⇔a2=b2
Ce n'est plus vrai pour des nombres de signes quelconques où l'on a seulement : a=b⇒a2=b2
x2+2x+1+y2−x2−y2+2y−1=0
x+y=0
L'ensemble (E) est la droite d'équation x+y=0
2 - Méthode géométrique
∣z+1∣=∣z−(−1)∣ est de la forme ∣z−a∣. Cela peut donc s'interpréter comme la distance entre les points M d'affixe z et A d'affixe −1.
De même ∣z−i∣ représente la distance entre les points M d'affixe z et B d'affixe i.
L'égalité ∣z+1∣=∣z−i∣ signifie donc que M(z) est équidistant de A(−1) et de B(i).
Rappel
L'ensemble des points équidistants de A et de B est la médiatrice de [AB]
L'ensemble (E) est donc la médiatrice de [AB]
