Nombres complexes – Bac S Pondichéry 2016

Exercice 2 - 3 points

Commun à tous les candidats

L'objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas un pentagone régulier.

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O~;~\vec{u},\vec{v})$ , on considère le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$ , de centre $O$ tel que $\overrightarrow{OA_0} = \vec{u}$ .

pentagone régulier

On rappelle que dans le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$ , ci-dessus :

$A_0,\:A_1,\:A_2,\:A_3$ et $A_4$ appartiennent au cercle trigonométrique ;
$k$ appartenant à $\{0~;~1~;~2~;~3\}$ on a $\left(\overrightarrow{OA_k}~;~\overrightarrow{OA}_{k+1}\right) = \frac{2\pi}{5}$ .

On considère les points $B$ d'affixe $- 1$ et $J$ d'affixe $\frac{i}{2}$ .

Le cercle $(\mathscr{C})$ de centre $J$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$ coupe le segment $[BJ]$ en un point $K$ .

Calculer $BJ$ , puis en déduire $BK$ .

Donner sous forme exponentielle l'affixe du point $A_2$ . Justifier brièvement.
Démontrer que $B{A_2}^{2} = 2+ 2\cos \left(\dfrac{4\pi}{5}\right)$ .

Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l'on pourra utiliser sans justification :

1.	*cos(4pi/5)**
		$\to \dfrac{1}{4}\left( - \sqrt{5} - 1\right)$
2.	sqrt((3-sqrt(5))/2)
		$\to \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5} - 1\right)$

"sqrt" signifie "racine carrée"

En déduire, grâce à ces résultats, que $BA_2 = BK$ .

Dans le repère $(O~;~\vec{u},\vec{v})$ donné ci-dessous, construire à la règle et au compas un pentagone régulier. N'utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction.

Corrigé

Rappel

Pour deux points $A(z_A)$ et $B(z_B)$ , la longueur $AB$ est égale à $\left|z_B - z_A\right|$

$BJ = \left|z_J - z_B\right|$

$\phantom{BJ }= \left|\frac{i}{2}+1\right|$

$\phantom{BJ }= \sqrt{1+\frac{1}{4}}$

$\phantom{BJ }= \sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$

Les points $B, K$ et $J$ étant alignés dans cet ordre :

$BK=BJ - KJ$

$\phantom{BK}=\frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$ car $KJ$ est un rayon du cercle $\mathscr C$

$\phantom{BK}=\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
1. Notons $z_2$ l'affixe du point $A_2$ .
  
  Comme $A_2$ est situé sur le cercle trigonométrique, $|z_2|=1$ .
  
  Un argument de $z_2$ est une mesure de l'angle orienté $(\vec{u}, \overrightarrow{OA_2})$ .
  
  D'après la relation de Chasles sur les angles orientés :
  
  $(\vec{u}, \overrightarrow{OA_2})=(\vec{u}, \overrightarrow{OA_1})+(\overrightarrow{OA_1}, \overrightarrow{OA_2})$
  
  $(\vec{u}, \overrightarrow{OA_2})=\frac{2\pi}{5}+\frac{2\pi}{5} \quad [2\pi]$
  
  $(\vec{u}, \overrightarrow{OA_2})=\frac{4\pi}{5} \quad [2\pi]$
  
  La forme exponentielle de $z_2$ est donc $z_2=e^{i \frac{4\pi}{5}}$
2. Par conséquent :
  
  $z_2=\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)+i\sin\left(\frac{4\pi}{5}\right)$
  
  $B{A_2}^2=\left|z_2 - ( - 1) \right|^2$
  
  $\phantom{B{A_2}^2}=\left|1+\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)+i\sin\left(\frac{4\pi}{5}\right) \right|^2$
  
  $\phantom{B{A_2}^2}=\left(1+\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)\right)^2+\left(\sin\left(\frac{4\pi}{5}\right) \right)^2$
  
  $\phantom{B{A_2}^2}=1+2\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)+\cos^2\left(\frac{4\pi}{5}\right)+\sin^2\left(\frac{4\pi}{5}\right)$
  
  $\phantom{B{A_2}^2}=2+2\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)\quad$ car $\cos^2\left(\frac{4\pi}{5}\right)+\sin^2\left(\frac{4\pi}{5}\right)=1$
3. D'après le logiciel de calcul formel (ligne 1) : $\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)= \frac{1}{4}\left( - \sqrt{5} - 1\right)$ .
  
  Donc :
  
  $B{A_2}^2=2+2 \times \frac{1}{4}\left( - \sqrt{5} - 1\right)$
  
  $\phantom{B{A_2}^2}=\frac{4}{2}+\frac{ - \sqrt{5} - 1}{2}$
  
  $\phantom{B{A_2}^2}=\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$
  
  et d'après le logiciel de calcul formel (ligne 2) : $\sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ .
  
  Par conséquent $BA_2=\frac{\sqrt{5} - 1}{2}=BK$ .
Dans la suite, on note $I$ le point d'affixe $i$ . 1ère étape : Construction du milieu $J$ de $[OI]$ .

On construit au compas la médiatrice du segment $[OI]$ . Cette droite coupe l'axe des ordonnées en $J$ .

2ème étape : Construction du point $K$

On trace le cercle de centre $J$ et de rayon $[OJ]$ .

Ce cercle coupe le segment $[BJ]$ en $K$ .

3ème étape : Construction des points $A_2$ et $A_3$

On reporte la longueur $[BK]$ de part et d'autre du point $B$ sur le cercle trigonométrique.

On obtient alors les points $A_2$ et $A_3$ (car d'après la question précédente $BA_2=BK$ et $A_2$ et $A_3$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses).

4ème étape : Tracé du pentagone

Le segment $[A_2A_3]$ est un côté du pentagone. On complète la construction en reportant plusieurs fois la longueur $A_2A_3$ sur le cercle trigonométrique.