Partie A

1. 1. 

      Le domaine hachuré en bleu correspond à l'évènement $(T \geqslant 22)$. Son aire vaut donc $p(T \geqslant 22)=0,023$.

      Par symétrie, le domaine hachuré en rouge qui correspond à l'évènement $(T \leqslant 5,8)$ (car $13,9$ est la moyenne de $5,8$ et $22$) a la même aire : $p(T \leqslant 5,8) = p(T \geqslant 22)=0,023$.

   2. L'évènement $(5,8 \leqslant T \leqslant 22)$ est l'évènement contraire de $(T \leqslant 5,8) \cup(T \geqslant 22)$.

      On a donc :

      $p(5,8 \leqslant T \leqslant 22)= 1 - (p(T \leqslant 5,8) + p(T \geqslant 22))$

      $\phantom{p(5,8 \leqslant T \leqslant 22)}= 1 - 2 \times 0,023=0.954$

      $p(T \leqslant 22)= 1 - p(T \leqslant 5,8)$

      $\phantom{T \leqslant 22)} = 1 - 0,023=0.977$

      Pour se ramener à une loi normale centrée réduite, on pose : $Z=\frac{T - 13,9}{\sigma}$.

      Alors :

      $T \leqslant 22 \Leftrightarrow T - 13,9\leqslant 8,1$

      $\phantom{T \leqslant 22} \Leftrightarrow \frac{T - 13,9}{\sigma}\leqslant \frac{8,1}{\sigma}$

      $\phantom{T \leqslant 22} \Leftrightarrow Z\leqslant \frac{8,1}{\sigma}$

      Par conséquent :

      $p\left(Z\leqslant \frac{8,1}{\sigma}\right)=0,977$

      A la calculatrice on obtient INVNORM(0.977) $\approx$ 1,995 (ou FRACNORM(0.977) ... ).

      On en déduit que

      $\frac{8,1}{\sigma}\approx 1,995$

      $\sigma\approx \frac{8,1}{1,995} \approx 4,1$ au dixième près.

   3. La probabilité cherchée est $p(T \geqslant 18)$.

      A la calculatrice (NORMCDF(18, 1E99, 13.9, 4.1) ou NORMALFREP ...) on trouve :

      $p(T \geqslant 18) \approx 0,16$ au centième près.

      NB : On pouvait aussi répondre sans utiliser la calculatrice en remarquant que $18=\mu+\sigma$ et en utilisant la formule $p(\mu - \sigma \leqslant T \leqslant \mu+\sigma)\approx 0,68$.

      Par conséquent $p(T \leqslant \mu - \sigma) + p(T \geqslant \mu+\sigma)\approx 1 - 0,68 = 0,32$

      $p(T \geqslant \mu+\sigma)\approx \frac{0,32}{2}=0,16$

Partie B

1. 

   D'après la formule des probabilités totales :

   $p(O)=p(R)\times p_R(O)+p(\overline{R})\times p_{\overline{R}}(O)$

   $p(O)=\frac{1}{2}\times p+\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}= \dfrac{1}{2}p+\dfrac{1}{6}$

2. 1. La fréquence observée de réponses "Oui" dans l'échantillon de taille $1500$ est $f = \frac{625}{1500} = \frac{5}{12}$.

      Les conditions $n \geqslant 30$, $nf \geqslant 5$ et $n(1 - f) \geqslant 5$ étant satisfaites, l'intervalle de confiance, au niveau de confiance de $95$% est donné par :

      $I=\left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~ f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$

      $I=\left[\dfrac{5}{12} - \dfrac{1}{\sqrt{1500}}~;~ \dfrac{5}{12}+\dfrac{1}{\sqrt{1500}}\right]$

      $I \approx [0,390~;~0,443]$

   2. Au seuil de confiance de $95$%, $q$ est compris entre $0,390$ et $0,443$. D'après la question 1, on a :

      $0,390 \leqslant q \leqslant 0,443 \Leftrightarrow 0,390 \leqslant \dfrac{1}{2}p+\dfrac{1}{6} \leqslant 0,443$

      $\phantom{0,390 \leqslant q \leqslant 0,443 }\Leftrightarrow 0,390 \leqslant \frac{3p+1}{6} \leqslant 0,443$

      $\phantom{0,390 \leqslant q \leqslant 0,443 }\Leftrightarrow 2,340 \leqslant 3p+1 \leqslant 2,658$

      $\phantom{0,390 \leqslant q \leqslant 0,443 }\Leftrightarrow 1,340 \leqslant 3p \leqslant 1,658$

      $\phantom{0,390 \leqslant q \leqslant 0,443 }\Leftrightarrow 0,446 \leqslant p \leqslant 0,553$

      Au seuil de confiance de$95$%, on peut conclure que la proportion de jeunes qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet est comprise entre $44,4$% et $55,3$%