Exercice 3 - 5 points

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

On considère les matrices $M$ de la forme $M = \begin{pmatrix}a&b \\ 5&3\end{pmatrix}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers.

Le nombre $3a - 5b$ est appelé le déterminant de $M$. On le note det$(M)$.

Ainsi det$(M) = 3a - 5b$.

1. Dans cette question on suppose que det$(M) \ne 0$ et on pose $N = \dfrac{1}{\text{det}(M)}\begin{pmatrix}3& - b \\ - 5&a\end{pmatrix}$.

   Justifier que $N$ est l'inverse de $M$.

2. On considère l'équation $(E) :\quad \text{det}(M) = 3$.

   On souhaite déterminer tous les couples d'entiers $(a~;~b)$ solutions de l'équation $(E)$.

   1. Vérifier que le couple $(6~;~3)$ est une solution de $(E)$.

   2. Montrer que le couple d'entiers $(a~;~b)$ est solution de $(E)$ si et seulement si$3(a - 6) = 5(b - 3)$.

      En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$.

Partie B

1. On pose $Q = \begin{pmatrix}6 & 3 \\ 5 & 3\end{pmatrix}$.

   En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de $Q$.

2. Codage avec la matrice $Q$

   Pour coder un mot de deux lettres à l'aide de la matrice $Q = \begin{pmatrix}6 &3 \\ 5& 3\end{pmatrix}$ on utilise la procédure ci-après :

   Étape 1 : On associe au mot la matrice $X = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}$ où $x_1$ est l'entier correspondant à la première lettre du mot et $x_2$ l'entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-dessous :

   A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M
   0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

   N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z
   13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25

   Étape 2 : La matrice $X$ est transformée en la matrice $Y = \begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix}$ telle que $Y = QX$.

   Étape 3 : La matrice $Y$ est transformée en la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1 \\ r_2\end{pmatrix}$ telle que $r_1$ est le reste de la division euclidienne de $y_1$ par 26 et $r_2$ est le reste de la division euclidienne de $y_2$ par 26.

   Étape 4 : À la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1 \\ r_2\end{pmatrix}$ on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l'étape 1.

   Exemple : JE$\to X = \begin{pmatrix}9 \\ 4\end{pmatrix} \to Y = \begin{pmatrix}66 \\ 57\end{pmatrix} \to R \begin{pmatrix}14 \\ 5\end{pmatrix} \to$OF.

   Le mot JE est codé en le mot OF.

   Coder le mot DO.

3. Procédure de décodage On conserve les mêmes notations que pour le codage.

   Lors du codage, la matrice $X$ a été transformée en la matrice $Y$ telle que $Y = QX$.

   1. Démontrer que $3X = 3Q^{ - 1}Y$ puis que $\begin{cases} 3x_1 \equiv 3r_1 - 3r_2 \quad [26]\\ 3x_2 \equiv - 5r_1+6r_2 \quad [26] \end{cases}$

   2. En remarquant que $9 \times 3 \equiv 1 \quad [26]$, montrer que $\begin{cases} x_1 \equiv r_1 - r_2 \quad [26] \\ x_2 \equiv 7r_1+2r_2 \quad [26] \end{cases}$

   3. Décoder le mot SG.