Puisque $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$:

$p\left(X\leqslant 2\right)=\int_{0}^{2}\lambda e^{ - \lambda t}dt=\left[ - e^{ - \lambda t}\right]_{0}^{2}=1 - e^{ - 2\lambda }$

Donc :

$p\left(X\leqslant 2\right)=0,15 \Leftrightarrow 1 - e^{ - 2\lambda }=0,15 \Leftrightarrow e^{ - 2\lambda }=0,85 \Leftrightarrow \lambda = - \frac{\ln\left(0,85\right)}{2}$

1. $p\left(X\geqslant 3\right)=1 - p\left(X\leqslant 3\right)$

   Un calcul analogue au précédent donne :

   $p\left(X\leqslant 3\right)=1 - e^{ - 3\lambda }$

   Donc

   $p\left(X\geqslant 3\right)=e^{ - 3\lambda }=e^{ - 0,243} \left(\approx 0,784\right)$

2. Pour tous réels positifs $t$ et $h$ :

   $p_{x\geqslant t}\left(X\geqslant t+h\right)=\frac{p\left(\left(X\geqslant t+h\right)\cap \left(X\geqslant t\right)\right)}{p\left(X\geqslant t\right)}$

   Or comme $h$ est positif $\left(X\geqslant t+h\right)\cap \left(X\geqslant t\right) =\left(X\geqslant t+h\right)$ donc :

   $p_{x\geqslant t}\left(X\geqslant t+h\right)=\frac{p\left(X\geqslant t+h\right)}{p\left(X\geqslant t\right)}$

   Par ailleurs, un calcul similaire à celui de la question précédente montre que pour tout réel $k$ positif :

   $p\left(X\geqslant k\right) = e^{ - k\lambda }$

   Donc finalement :

   $p_{x\geqslant t}\left(X\geqslant t+h\right) = \frac{e^{ - \lambda \left(t+h\right)}}{e^{ - \lambda t}}=e^{ - \lambda h} = p\left(X\geqslant h\right)$

3. La probabilité cherchée est $p_{x\geqslant 3}\left(X\geqslant 3+2\right)$.

   D'après la question précédente:

   $p_{x\geqslant 3}\left(X\geqslant 3+2\right) = p\left(X\geqslant 2\right) = 1 - p\left(X < 2\right) =1 - p\left(X\leqslant 2\right) = 1 - 0,15=0,85$

4. Comme $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda =0,081$:

   $E\left(X\right)=\frac{1}{\lambda} =\frac{1}{0,081}\approx 12,346$

Vérifions tout d'abord que les conditions $n\geqslant 30$, $np\geqslant 5$ et $n\left(1 - p\right)\geqslant 5$ sont vérifiées :

$n=800 > 30$, $np=800\times 0,01 > 5$ et $n\left(1 - p\right)=800\times;0,99 > 5$

L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est donné par la formule :

$I=\left[ p - 1,96\times \frac{\sqrt{p\left(1 - p\right)}}{\sqrt{n}} ; p+1,96\times \frac{\sqrt{p\left(1 - p\right)}}{\sqrt{n}} \right]$

où $p$ représente la proportion par rapport à l'ensemble de la population et $n$ la taille de l'échantillon.

Avec l'hypothèse $p=1\%$ on obtient :

$I\approx \left[0,003 ; 0,017\right]$

Or 15 moteurs sur 800 sont défectueux , ce qui correspond à une fréquence de

$f=\frac{15}{800} =0,01875$

Comme $f \notin I$, on doit rejeter l'annonce de l'entreprise (avec un risque d'erreur inférieur à $0,05\%$)