Exercice 4   (7 points)

Commun à tous les candidats

Partie A

$f$ est une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. $f^{\prime}$ est la fonction dérivée de la fonction $f$.

Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on nomme $\mathscr C_{1}$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\mathscr C_{2}$ la courbe représentative de la fonction $f^{\prime}$.

Le point A de coordonnées (0 ; 2) appartient à la courbe $\mathscr C_{1}$.

Le point B de coordonnées (0 ; 1) appartient à la courbe $\mathscr C_{2}$.

1. Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative $\mathscr C_{1}$ de la fonction $f$. Sur l'une d'entre elles, la courbe $\mathscr C_{2}$ de la fonction dérivée $f^{\prime}$ est tracée convenablement.

   Laquelle ? Expliquer le choix effectué.

   
   Situation 1

   
   Situation 2

   
   Situation 3

2. Déterminer l'équation réduite de la droite $\Delta$ tangente à la courbe $\mathscr C_{1}$ en A.

3. On sait que pour tout réel $x,: f\left(x\right)=e^{ - x}+ax+b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

   1. Déterminer la valeur de $b$ en utilisant les renseignements donnés par l'énoncé.

   2. Prouver que $a=2$

4. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

5. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.

Partie B

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g\left(x\right)=f\left(x\right) - \left(x+2\right)$.

1. 1. Montrer que la fonction $g$ admet $0$ comme minimum sur $\mathbb{R}$.

   2. En déduire la position de la courbe $\mathscr C_{1}$ par rapport à la droite $\Delta$.

      La figure 2 ci-dessous représente le logo d'une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s'est servi de la courbe $\mathscr C_{1}$ et de la droite $\Delta$, comme l'indique la figure 3 ci-dessous. Afin d'estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l'aire de la partie colorée en bleu.

      
      Figure 2

      
      Figure 3

      
      Le contour du logo est représenté par le trapèze DEFG où :

      - D est le point de coordonnées $\left( - 2 ; 0\right)$,

      - E est le point de coordonnées (2 ; 0),

      - F est le point d'abscisse 2 de la courbe $\mathscr C_{1}$,

      - G est le point d'abscisse $- 2$ de la courbe $\mathscr C_{2}$.

      La partie du logo colorée en bleu correspond à la surface située entre la droite $\Delta$, la courbe $\mathscr C_{1}$, la droite d'équation $x = - 2$ et la droite d'équation $x=2$

2. Calculer, en unités d'aire, l'aire de la partie du logo colorée en bleu (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{ - 2}$ du résultat)