Proposition 1 : Faux

Si une suite croissante est majorée elle converge vers une limite finie.

Par exemple la suite définie sur $\mathbb{N}^*$ par $u_{n}=1 - \frac{1}{n}$ est positive croissante et converge vers 1.

Proposition 2 : Faux

0 est aussi solution de cette équation puisque $g\left(0\right)=0$. Attention: A partir de $2x \ln \left(2x+1\right)=2x$ ne pas simplifier par $x$ (puisque $x$ peut être nul...)

Proposition 3 : Vrai

Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $\frac{1}{2}$ est $g^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)$. Or :

$g^{\prime}\left(x\right) = 2\ln\left(2x+1\right)+2x\times \frac{2}{2x+1}$

$g^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right) = 2\ln\left(2\right)+1$

Et $\ln\left(4\right)=\ln\left(2^{2}\right)=2\ln\left(2\right)$

Proposition 4 : Vrai

Un vecteur normal à $\mathscr P$ est $\vec{u}\left(2 ; 3 ; - 1\right)$

Un vecteur normal à $\mathscr R$ est $\vec{v}\left(1 ; 1 ; 5\right)$

$\vec{u}.\vec{v}=2\times 1+3\times 1 - 1\times 5=0$

Les vecteurs normaux $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux donc les plans $\mathscr P$ et $\mathscr R$ se coupent perpendiculairement.