Exercice 3 (5 points)

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé. Trois marques X, Y et Z se partagent le marché. Soit $n$ un entier naturel.

On note :

• $X_{n}$ l'évènement «la marque X est utilisée le mois $n$»,

• $Y_{n}$ l'évènement «la marque Y est utilisée le mois $n$»,

• $Z_{n}$ l'évènement «la marque Z est utilisée le mois $n$».

Les probabilités des évènements $X_{n}, Y_{n}, Z_{n}$ sont notées respectivement $x_{n}, y_{n}, z_{n}$.

La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition.

Un acheteur de la marque X le mois $n$, a le mois suivant :

• 50% de chance de rester fidèle à cette marque,

• 40% de chance d'acheter la marque Y,

• 10% de chance d'acheter la marque Z.

Un acheteur de la marque Y le mois $n$, a le mois suivant :

• 30% de chance de rester fidèle à cette marque,

• 50% de chance d'acheter la marque X,

• 20% de chance d'acheter la marque Z.

Un acheteur de la marque Z le mois $n$, a le mois suivant :

• 70% de chance de rester fidèle à cette marque,

• 10% de chance d'acheter la marque X,

• 20% de chance d'acheter la marque Y.

1. 1. Exprimer $x_{n+1}$ en fonction de $x_{n}, y_{n}$ et $z_{n}$.

      On admet que :

      $y_{n+1}=0,4x_{n}+0,3y_{n}+0,2z_{n}$ et que $z_{n+1}=0,1x_{n}+0,2y_{n}+0,7 z_{n}$.

   2. Exprimer $z_{n}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$. En déduire l'expression de $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$

2. On définit la suite $\left(U_{n}\right)$ par $U_{n}=\begin{pmatrix} x_{n} \\ y_{n} \end{pmatrix}$ pour tout entier naturel $n$.

   On admet que, pour tout entier naturel $n,: U_{n+1}=A \times U_{n}+B$ où :

   $A=\begin{pmatrix} 0,4 & 2 \\ 0,2 & 0,1 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 0,1 \\ 0,2 \end{pmatrix}$.

   Au début de l'étude statistique (mois de janvier 2014 : $n=0$), on estime que $U_{0}=\begin{pmatrix} 0,5 \\ 0,3 \end{pmatrix}$.

   On considère l'algorithme suivant :

   Variables	$n$ et $i$ des entiers naturels.
   	$A$, $B$ et $U$ des matrices
   Entrée et initialisation	Demander la valeur de $n$
   	$i$ prend la valeur $0$
   	$A$ prend la valeur $\begin{pmatrix} 0,4 & 2 \\ 0,2 & 0,1 \end{pmatrix}$
   	$B$ prend la valeur $\begin{pmatrix} 0,1 \\ 0,2 \end{pmatrix}$
   	U prend la valeur $\begin{pmatrix} 0,5 \\ 0,3 \end{pmatrix}$
   Traitement	Tant que $i < n$
   	$\quad \quad U$ prend la valeur $A \times U+B$
   	$\quad \quad i$ prend la valeur $i+1$
   	Fin de Tant que
   Sortie	Afficher $U$

   1. Donner les résultats affichés par cet algorithme pour $n=1$ puis pour $n=3$.

   2. Quelle est la probabilité d'utiliser la marque X au mois d'avril ?

      Dans la suite de l'exercice, on cherche à déterminer une expression de $U_{n}$ en fonction de $n$.

      On note $I$ la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $N$ la matrice $I - A$

3. On désigne par $C$ une matrice colonne à deux lignes.

   1. Démontrer que $C=A \times C+B$ équivaut à $N \times C=B$.

   2. On admet que $N$ est une matrice inversible et que $N^{ - 1}=\begin{pmatrix} \frac{45}{23} & \frac{20}{23} \\ \\ \frac{10}{23} & \frac{30}{23} \end{pmatrix}$.

      En déduire que $C=\begin{pmatrix} \frac{17}{46} \\ \\ \frac{7}{23}\end{pmatrix}$

4. On note $V_{n}$ la matrice telle que $V_{n}=U_{n} - C$ pour tout entier naturel $n$.

   1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ : $V_{n+1}=A \times V_{n}$.

   2. On admet que $U_{n}=A^{n} \times \left(U_{0} - C\right)+C$.

      Quelles sont les probabilités d'utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai