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Limites et encadrement

Soit ff une fonction définie sur R\mathbb{R} telle que pour tout réel xx : 1⩽f(x)⩽21\leqslant f\left(x\right)\leqslant 2.

Calculer (si cela est possible) les limites suivantes :

  1. limx→+∞f(x)+x\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)+x

  2. limx→+∞xf(x)\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }xf\left(x\right)

  3. limx→+∞f(x)x\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{f\left(x\right)}{x}

  4. limx→+∞f(x)+xx2f(x)\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{f\left(x\right)+x}{x^{2}f\left(x\right)}

Corrigé

  1. On sait que 1⩽f(x)1\leqslant f\left(x\right) donc en ajoutant xx à chaque membre :

    f(x)+x⩾1+xf\left(x\right)+x \geqslant 1+x

    Or, limx→+∞1+x=+∞\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }1+x=+\infty

    donc d'après le théorème de comparaison quand x→+∞x\rightarrow +\infty :

    limx→+∞f(x)+x=+∞\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)+x=+\infty

  2. De même, 1⩽f(x)1\leqslant f\left(x\right) donc pour xx positif xf(x)⩾xxf\left(x\right)\geqslant x

    Comme limx→+∞x=+∞\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x=+\infty , le même théorème que précédemment permet de conclure que :

    limx→+∞xf(x)=+∞\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }xf\left(x\right)=+\infty

  3. 1⩽f(x)⩽21\leqslant f\left(x\right)\leqslant 2 donc pour xx strictement positif, en multipliant chaque membre par 1x\frac{1}{x} (qui est aussi strictement positif) :

    1x⩽f(x)x⩽2x\frac{1}{x}\leqslant \frac{f\left(x\right)}{x}\leqslant \frac{2}{x}

    Or limx→+∞1x=0\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x}=0 et limx→+∞2x=0\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{2}{x}=0

    Donc d'après le théorème des gendarmes :

    limx→+∞f(x)x=0\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{f\left(x\right)}{x}=0

  4. On écrit :

    f(x)+xx2f(x)=f(x)x2f(x)+xx2f(x)=1x2+1xf(x)\frac{f\left(x\right)+x}{x^{2}f\left(x\right)}=\frac{f\left(x\right)}{x^{2}f\left(x\right)}+\frac{x}{x^{2}f\left(x\right)}=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{xf\left(x\right)}

    limx→+∞1x2=0\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x^{2}}=0

    Ensuite, pour calculer limx→+∞1xf(x)\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{xf\left(x\right)} on peut poser X=xf(x)X=xf\left(x\right).

    D'après la question 2. :

    limx→+∞X=limx→+∞xf(x)=+∞\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }X=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }xf\left(x\right)=+\infty

    donc limx→+∞1xf(x)=limX→+∞1X=0\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{xf\left(x\right)}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\frac{1}{X}=0

    Finalement, par somme :

    limx→+∞f(x)+xx2f(x)=0\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{f\left(x\right)+x}{x^{2}f\left(x\right)}=0

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