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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Limites et racine carrée

Soit la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :

f(x)=x2+x+1−xf\left(x\right)=\sqrt{x^2+x+1} - x

  1. Calculer limx→−∞f(x)\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }f\left(x\right)

  2. Calculer limx→+∞f(x)\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)

Corrigé

Remarque préliminaire : ff est bien définie sur R\mathbb{R} car pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} x2+x+1>0x^{2}+x+1 > 0; en effet le discriminant de x2+x+1x^{2}+x+1 vaut Δ=−3<0\Delta = - 3 < 0 donc x2+x+1x^{2}+x+1 est toujours du signe de a=1a=1 donc strictement positif.

  1. En −∞ - \infty :

    x2+x+1=x2(1+1x+1x2)x^{2}+x+1=x^{2}\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)

    Or :

    limx→−∞x2=+∞\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x^{2}=+\infty

    limx→−∞(1+1x+1x2)=1\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)=1

    donc par produit:

    limx→−∞x2+x+1=+∞\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x^{2}+x+1=+\infty

    On en déduit que

    limx→−∞x2+x+1=+∞\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\sqrt{x^{2}+x+1}=+\infty (composition de limites)

    Par ailleurs :

    limx→−∞−x=+∞\lim\limits_{x\rightarrow - \infty } - x=+\infty

    donc par somme :

    limx→−∞f(x)=limx→−∞x2+x+1−x=+∞\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\sqrt{x^{2}+x+1} - x=+\infty

  2. En +∞+\infty :

    On a une forme indéterminée du type «∞−∞\infty - \infty ». On lève l'indétermination en multipliant et en divisant par l'expression conjuguée (voir Méthode : Formes indéterminées) :

    f(x)=x2+x+1−x=(x2+x+1−x)(x2+x+1+x)x2+x+1+xf\left(x\right)=\sqrt{x^{2}+x+1} - x =\frac{\left(\sqrt{x^{2}+x+1} - x \right)\left(\sqrt{x^{2}+x+1} + x \right)}{\sqrt{x^{2}+x+1} + x}

    f(x)=(x2+x+1)2−x2x2+x+1+x=x2+x+1−x2x2+x+1+x=x+1x2+x+1+xf\left(x\right)=\frac{\left(\sqrt{x^{2}+x+1}\right)^{2} - x^{2}}{\sqrt{x^{2}+x+1} + x }=\frac{x^{2}+x+1 - x^{2}}{\sqrt{x^{2}+x+1} + x }=\frac{x+1 }{\sqrt{x^{2}+x+1} + x }

    Cette fois lorsque l'on fait tendre xx vers +∞+\infty on a une forme indéterminée du type «∞∞\frac{\infty}{\infty}»

    Pour lever l'indétermination on met xx en facteur au numérateur et au dénominateur.

    Au numérateur :

    x+1=x(1+1/x)x+1=x \left(1+1/x\right)

    Au dénominateur :

    x2+x+1+x=x2+x+1+x=x2(1+1/x+1/x2)+x\sqrt{x^{2}+x+1} + x = \sqrt{x^{2}+x+1} + x = \sqrt{x^{2}\left(1+1/x+1/x^{2}\right)} +x

    Pour x>0x > 0, x2=x\sqrt{x^{2}}=x donc :

    x2+x+1+x=x1+1/x+1/x2+x=x(1+1/x+1/x2+1)\sqrt{x^{2}+x+1} + x = x\sqrt{1+1/x+1/x^{2}} +x = x \left(\sqrt{1+1/x+1/x^{2}} +1\right)

    On obtient donc après simplification par xx :

    f(x)=1+1/x1+1/x+1/x2+1f\left(x\right)=\frac{1+1/x}{\sqrt{1+1/x+1/x^{2}} +1}

    Or

    limx→+∞1+1/x=1\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }1+1/x=1

    limx→+∞1+1/x+1/x2+1=2\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{1+1/x+1/x^{2}} + 1=2

    donc par quotient :

    limx→+∞f(x)=12\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=\frac{1}{2}

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