Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Calculer une limite à l'aide du nombre dérivé

Méthode

On cherche à calculer une limite du type limxaf(x)f(a)xa\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right) - f\left(a\right)}{x - a}

C'est une forme indéterminée du type «00\frac{0}{0}»

Pour lever l'indétermination, on utilise la définition du nombre dérivé qui donne :

limxaf(x)f(a)xa=f(a)\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right) - f\left(a\right)}{x - a}=f^{\prime}\left(a\right)

Il suffit donc de calculer f(x)f^{\prime}\left(x\right) puis de remplacer xx par aa pour obtenir f(a)f^{\prime}\left(a\right)

Exemple 1

Soit nn un entier strictement positif.

Calculer limx1xn1x1\lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{x^{n} - 1}{x - 1}.

On pose f(x)=xnf\left(x\right)=x^{n}.

On a alors f(1)=1f\left(1\right)=1

La limite cherchée correspond donc à limx1f(x)f(1)x1\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{f\left(x\right) - f\left(1\right)}{x - 1} et vaut par conséquent f(1)f^{\prime}\left(1\right).

Or f(x)=nxn1f^{\prime}\left(x\right)=nx^{n - 1} dnc f(1)=n×1n1=nf^{\prime}\left(1\right)=n\times 1^{n - 1}=n

En conclusion : limx1xn1x1=n\lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{x^{n} - 1}{x - 1}=n

Exemple 2

On veut calculer limx2x+22x2\lim\limits_{x\rightarrow 2} \frac{\sqrt{x+2} - 2}{x - 2}

On a une forme indéterminée du type «00\frac{0}{0}»

Posons f(x)=x+2f\left(x\right)=\sqrt{x+2} pour x2x\geqslant - 2

On a f(2)=4=2f\left(2\right)=\sqrt{4}=2

La limite est cherchée est donc :

limx2f(x)f(2)x2=f(2)\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{f\left(x\right) - f\left(2\right)}{x - 2}=f^{\prime}\left(2\right)

Pour calculer ff^{\prime} on applique la formule (u)=u2u\left(\sqrt{u}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2\sqrt{u}} :

f(x)=12x+2f^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x+2}}

Donc f(2)=14f^{\prime}\left(2\right)=\frac{1}{4}

Finalement : limx2x+22x2=14\lim\limits_{x\rightarrow 2} \frac{\sqrt{x+2} - 2}{x - 2}=\frac{1}{4}

Exemple 3

(Cet exemple suppose que l'on a étudié le chapitre sur les fonctions trigonométriques)

On veut calculer limx0cosx1x\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\cos x - 1}{x}

On a, là encore une forme indéterminée du type «00\frac{0}{0}»

On pose f(x)=cosxf\left(x\right)=\cos x

La limite est cherchée est alors :

limx0f(x)f(0)x0=f(0)=sin0=0\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f\left(x\right) - f\left(0\right)}{x - 0}=f^{\prime}\left(0\right)= - \sin 0=0