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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Limites du type «k/0»

Situation

On cherche à calculer la limite d'une fraction rationnelle lorsquexx tend vers une valeur aa qui annule le dénominateur; par exemple limx1x+2x21.\lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{x+2}{x^{2} - 1}.

Méthode

  • Si on a affaire à une limite du type « 00\frac{0}{0} » (forme indéterminée), on lève l'indétermination en factorisant le numérateur et le dénominateur puis en simplifiant la fraction

  • Si on a affaire à une limite du type « k0\frac{k}{0} » avec k0k \neq 0:

    • on distingue les limites à gauche et à droite :

      limxaf(x)\lim\limits_{x\rightarrow a^ - } f\left(x\right) et limxa+f(x)\lim\limits_{x\rightarrow a^+} f\left(x\right)

    • les limites seront égales à ++\infty ou - \infty

    • pour déterminer le signe de la limite on étudie le signe du quotient. On peut toutefois se limiter à l'étude de signe au voisinage de aa (voir exemple 3)

Exemple 1

Calculer limx2x23x+2x24\lim\limits_{x\rightarrow 2} \frac{x^{2} - 3x+2}{x^{2} - 4}

En remplaçant xx par 2 dans la fraction rationnelle on obtient « 00\frac{0}{0} ».

On lève l'indétermination en simplifiant la fraction.

2 est racine de x23x+2x^{2} - 3x+2 comme on vient de le voir. Le produit des racines vaut ca=2\frac{c}{a}=2 donc l'autre racine est 1 (on peut, si l'on préfère, calculer le discriminant puis les racines, mais c'est plus long…).

x23x+2x^{2} - 3x+2 peut donc se factoriser sous la forme (x1)(x2)\left(x - 1\right)\left(x - 2\right).

x24=(x2)(x+2)x^{2} - 4=\left(x - 2\right)\left(x+2\right) (identité remarquable)

Donc :

limx2x23x+2x24=limx2(x1)(x2)(x2)(x+2)=limx2x1x+2=14\lim\limits_{x\rightarrow 2} \frac{x^{2} - 3x+2}{x^{2} - 4} = \lim\limits_{x\rightarrow 2} \frac{\left(x - 1\right)\left(x - 2\right)}{\left(x - 2\right)\left(x+2\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow 2} \frac{x - 1}{x+2} = \frac{1}{4}

Exemple 2

Calculer limx121+x\lim\limits_{x\rightarrow - 1} \frac{2}{1+x}

En remplaçant xx par -1 dans la fraction rationnelle on obtient « 20\frac{2}{0} ».

La limite est donc infinie.

Pour l'étude du signe on distingue les limites à gauche et à droite.

Le numérateur est toujours positif.

  • si x<1x < - 1, 1+x1+x est strictement négatif

  • si x>1x > - 1, 1+x1+x est strictement positif donc :

limx121+x=\lim\limits_{x\rightarrow - 1^ - } \frac{2}{1+x}= - \infty

limx1+21+x=+\lim\limits_{x\rightarrow - 1^+} \frac{2}{1+x}=+\infty

Exemple 3

Calculer limx0x3+x3x2x\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{x^{3}+x - 3}{x^{2} - x}

En «remplaçant xx par 0» dans la fraction rationnelle on obtient «30 - \frac{3}{0}».

La limite sera donc infinie. On distingue les limites à gauche et à droite.

Il n'est pas facile de factoriser le numérateur qui est du troisième degré. Heureusement, cela ne sera pas nécessaire ici !

On ne va pas construire le tableau de signes sur R\mathbb{R} tout entier mais seulement au voisinage de zéro.

Si xx est proche de zéro le numérateur sera proche de 3 - 3 donc négatif.

Le dénominateur se factorise x2x=x(x1)x^{2} - x=x\left(x - 1\right) et x1x - 1 est proche de 1 - 1 (donc négatif) lorsque xx est proche de 0.

On obtient alors le tableau de signe au voisinage de 00 :

Exemple tableau de signes d'un quotient

Donc :

limx0x3+x3x2x=\lim\limits_{x\rightarrow 0^ - }\frac{x^{3}+x - 3}{x^{2} - x}= - \infty

limx0+x3+x3x2x=+\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{x^{3}+x - 3}{x^{2} - x}=+\infty

Remarque

Une petite astuce pour vérifier votre résultat à la calculatrice.

Pour avoir une idée de la valeur de limxaf(x)\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right), donnez à xx des valeurs proches de aa et calculer f(x)f\left(x\right)

Par exemple, pour l'exemple 3, on saisit la fonction xx3+x3x2xx\mapsto \frac{x^{3}+x - 3}{x^{2} - x} et on calcule :

f(0,0000000001)3×1010f\left( - 0,0000000001\right)\approx - 3\times 10^{10}

f(0,0000000001)3×1010f\left(0,0000000001\right)\approx 3\times 10^{10}

ce qui confirme les valeurs ( et surtout les signes ! ) que nous avons trouvées ( - \infty et ++\infty ).