Limites du type «k/0»
Situation
On cherche à calculer la limite d'une fraction rationnelle lorsquex tend vers une valeur a qui annule le dénominateur; par exemple x→1limx2−1x+2.
Méthode
Si on a affaire à une limite du type « 00 » (forme indéterminée), on lève l'indétermination en factorisant le numérateur et le dénominateur puis en simplifiant la fraction
Si on a affaire à une limite du type « 0k » avec k≠0:
on distingue les limites à gauche et à droite :
x→a−limf(x) et x→a+limf(x)
les limites seront égales à +∞ ou −∞
pour déterminer le signe de la limite on étudie le signe du quotient. On peut toutefois se limiter à l'étude de signe au voisinage de a (voir exemple 3)
Exemple 1
Calculer x→2limx2−4x2−3x+2
En remplaçant x par 2 dans la fraction rationnelle on obtient « 00 ».
On lève l'indétermination en simplifiant la fraction.
2 est racine de x2−3x+2 comme on vient de le voir. Le produit des racines vaut ac=2 donc l'autre racine est 1 (on peut, si l'on préfère, calculer le discriminant puis les racines, mais c'est plus long…).
x2−3x+2 peut donc se factoriser sous la forme (x−1)(x−2).
x2−4=(x−2)(x+2) (identité remarquable)
Donc :
x→2limx2−4x2−3x+2=x→2lim(x−2)(x+2)(x−1)(x−2)=x→2limx+2x−1=41
Exemple 2
Calculer x→−1lim1+x2
En remplaçant x par -1 dans la fraction rationnelle on obtient « 02 ».
La limite est donc infinie.
Pour l'étude du signe on distingue les limites à gauche et à droite.
Le numérateur est toujours positif.
si x<−1, 1+x est strictement négatif
si x>−1, 1+x est strictement positif donc :
x→−1−lim1+x2=−∞
x→−1+lim1+x2=+∞
Exemple 3
Calculer x→0limx2−xx3+x−3
En «remplaçant x par 0» dans la fraction rationnelle on obtient «−03».
La limite sera donc infinie. On distingue les limites à gauche et à droite.
Il n'est pas facile de factoriser le numérateur qui est du troisième degré. Heureusement, cela ne sera pas nécessaire ici !
On ne va pas construire le tableau de signes sur R tout entier mais seulement au voisinage de zéro.
Si x est proche de zéro le numérateur sera proche de −3 donc négatif.
Le dénominateur se factorise x2−x=x(x−1) et x−1 est proche de −1 (donc négatif) lorsque x est proche de 0.
On obtient alors le tableau de signe au voisinage de 0 :
Donc :
x→0−limx2−xx3+x−3=−∞
x→0+limx2−xx3+x−3=+∞
Remarque
Une petite astuce pour vérifier votre résultat à la calculatrice.
Pour avoir une idée de la valeur de x→alimf(x), donnez à x des valeurs proches de a et calculer f(x)
Par exemple, pour l'exemple 3, on saisit la fonction x↦x2−xx3+x−3 et on calcule :
f(−0,0000000001)≈−3×1010
f(0,0000000001)≈3×1010
ce qui confirme les valeurs ( et surtout les signes ! ) que nous avons trouvées (−∞ et +∞).
