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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Forme indéterminée avec racine carrée

Calculer limx→1x−1x−1\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}

Corrigé

On obtient une forme indéterminée du type « 00\frac{0}{0} »

Voici deux méthodes pour lever l'indétermination :

1ère méthode

On multiplie par l'expression conjuguée ( voir Méthode pour lever une forme indéterminée - Méthode 2 )

limx→1x−1x−1=limx→1(x−1)(x+1)(x−1)(x+1)=limx→1x2−1(x−1)(x+1)\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\left(\sqrt{x} - 1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(x - 1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x}^{2} - 1}{\left(x - 1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}

Or pour x⩾0x\geqslant 0, x2=x\sqrt{x}^{2}=x donc :

limx→1x−1x−1=limx→1x−1(x−1)(x+1)=limx→11x+1=12\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x - 1}{\left(x - 1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{2}

2ème méthode

On utilise le nombre dérivé ( voir Calcul de limites et nombre dérivé )

Posons f(x)=xf\left(x\right)=\sqrt{x} pour x⩾0x\geqslant 0

Alors :

limx→1x−1x−1=limx→1f(x)−f(1)x−1=f′(1)\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{f\left(x\right) - f\left(1\right)}{x - 1}=f^{\prime}\left(1\right)

Et pour x>0x > 0, f′(x)=12xf^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}} donc f′(1)=12f^{\prime}\left(1\right)=\frac{1}{2}

Finalement : limx→1x−1x−1=12\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}=\frac{1}{2}

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