[ROC] Limites de la fonction exponentielle
Prérequis :
La fonction exponentielle (notée exp ou x↦ex) est l'unique fonction dérivable sur R telle que :
exp′=exp
exp(0)=1
La fonction exponentielle est strictement croissante et strictement positive sur R.
Pour tous réels a et b :
ea+b=ea×eb
e−a=ea1
ea−b=ebea
L'objectif de cet exercice est de démontrer les principaux résultats concernant les limites de la fonction exponentielle.
Partie A
Soit la fonction f définie sur R par f(x)=ex−x.
Etudier le sens de variation de la fonction f.
En déduire que pour tout réel x : ex>x.
Montrer que x→+∞limex=+∞
A l'aide de la question précédente, montrer que x→−∞limex=0
Partie B
Soit la fonction g définie sur R par g(x)=ex−2x2.
Etudier le sens de variation de la fonction g.
Montrer que g(x)>0 pour tout x>0.
En déduire la limite quand x tend vers +∞ de xex.
Montrer que x→−∞limxex=0.
Partie A
f′(x)=ex−1
f′(x)>0⇔ex−1>0⇔ex>1⇔ex>e0⇔x>0 car le fonction exponentielle est strictement croissante.
Par ailleurs f(0)=e0−0=1.
On en déduit le tableau de variation de f
Le tableau précédent montre que pour tout x∈R, f(x)>0, c'est à dire ex>x.
Or x→+∞limx=+∞. Donc d'après le théorème de comparaison pour les limites infinies : x→+∞limex=+∞
On pose X=−x. Lorsque x→−∞, X→+∞ et :
x→−∞limex=X→+∞lime−X=X→+∞limeX1
Or d'après la question précédente X→+∞limeX=+∞ donc par quotient :
X→+∞limeX1=0
En conclusion : x→−∞limex=0
Partie B
g′(x)=ex−x=f(x)>0 pour tout x∈R.
Donc la fonction g est croissante sur R
On en déduit que pour x>0, g(x)>g(0)=1>0
Pour x strictement positif g(x)>0 donc ex−2x2>0 donc ex>2x2
Par conséquent : xex>2x et comme x→+∞lim2x=+∞, d'après le théorème de comparaison pour les limites infinies : x→+∞limxex=+∞
On pose, là encore, X=−x :
x→−∞limxex=X→+∞lim−Xe−X=X→+∞lim−eXX
D'après la question précédente XeX tend vers +∞ lorsque X→+∞ donc eXX (qui est son inverse) tend vers 0.
Donc x→−∞limxex=−0=0.
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