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Limites fonction rationnelle

Soit la fonction ff définie sur ]−∞;−1[∪]−1;1[∪]1;+∞[\left] - \infty ; - 1\right[ \cup \left] - 1 ; 1\right[ \cup \left]1 ; +\infty \right[ par :

f(x)=x+2x2−1f\left(x\right)=\frac{x+2}{x^{2} - 1}

Déterminer les limites de ff aux bornes de son ensemble de définition. (Il y a 6 limites à calculer)

Quelles sont les asymptotes (horizontales et verticales) à la courbe représentative de ff ?

Corrigé

  1. En +∞+\infty et −∞ - \infty :

    On a une forme indéterminée du type «∞∞\frac{\infty}{\infty} » (voir Méthode : Formes indéterminées)

    On factorise par xx au numérateur et x2x^{2} au dénominateur :

    f(x)=x(1+2/x)x2(1−1/x2)=1+2/xx(1−1/x2)f\left(x\right)=\frac{x\left(1+2/x\right)}{x^{2}\left(1 - 1/x^{2}\right)}=\frac{1+2/x}{x\left(1 - 1/x^{2}\right)}

    Lorsque x→\±∞x\rightarrow \backslash\pm \infty le numérateur tend vers 1 et le dénominateur tend vers \±∞\backslash\pm \infty donc :

    limx→\±∞f(x)=0\lim\limits_{x\rightarrow \backslash\pm \infty }f\left(x\right)=0

    Remarque : On peut aussi écrire : limx→\±∞x+2x2−1=limx→\±∞xx2=limx→\±∞1x=0\lim\limits_{x\rightarrow \backslash\pm \infty }\frac{x+2}{x^{2} - 1}=\lim\limits_{x\rightarrow \backslash\pm \infty }\frac{x}{x^{2}}=\lim\limits_{x\rightarrow \backslash\pm \infty }\frac{1}{x}=0

  2. En −1 - 1 et +1+1

    Le dénominateur tend vers zéro; on a une limite du type «k0\frac{k}{0}» (voir Méthode : limite «k/0k/0»)

    On peut écrire f(x)=x+2(x−1)(x+1)f\left(x\right)=\frac{x+2}{\left(x - 1\right)\left(x+1\right)}

    Si x→−1x\rightarrow - 1 et x<−1x < - 1 :

    x+2>0x+2 > 0 (tend vers 11)

    x−1<0x - 1 < 0 (tend vers −2 - 2)

    x+1<0x+1 < 0 (car x<−1x < - 1)

    donc limx→−1−f(x)=+∞\lim\limits_{x\rightarrow - 1^ - }f\left(x\right)=+\infty

    Si x→−1x\rightarrow - 1 et x>−1x > - 1 :

    x+2>0x+2 > 0 (tend vers 11)

    x−1<0x - 1 < 0 (tend vers −2 - 2)

    x+1>0x+1 > 0 (car x>−1x > - 1)

    donc limx→−1+f(x)=−∞\lim\limits_{x\rightarrow - 1^+}f\left(x\right)= - \infty

    Si x→1x\rightarrow 1 et x<1x < 1 :

    x+2>0x+2 > 0 (tend vers 33)

    x+1>0x+1 > 0 (tend vers 22)

    x−1<0x - 1 < 0 (car x<1x < 1)

    donc limx→+1−f(x)=−∞\lim\limits_{x\rightarrow +1^ - }f\left(x\right)= - \infty

    Si x→1x\rightarrow 1 et x>1x > 1 :

    x+2>0x+2 > 0 (tend vers 33)

    x+1>0x+1 > 0 (tend vers 22)

    x−1>0x - 1 > 0 (car x>1x > 1)

    donc limx→+1+f(x)=+∞\lim\limits_{x\rightarrow +1^+}f\left(x\right)=+\infty

La courbe représentative de ff admet :

  • une asymptote horizontale d'équation y=0y=0

  • deux asymptotes verticales d'équations x=−1x= - 1 et x=1x=1

Fonction

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