T le
Limites de fonctions (4) Ce quiz comporte 6 questions moyen
T le - Limites de fonctions (4)1
Soit la fonction f f f définie sur ] 0 ; + ∞ [ ]0~;~+\infty[ ] 0 ; + ∞ [ par :
f ( x ) = x − x x + x . f(x)=\dfrac{x - \sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}. f ( x ) = x + √ x x − √ x .
lim x → + ∞ f ( x ) = 1 \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)= 1 x → + ∞ lim f ( x ) = 1
T le - Limites de fonctions (4)1
T le - Limites de fonctions (4)1
T le - Limites de fonctions (4)1
C'est vrai.
En factorisant x x x au numérateur et au dénominateur on trouve :
lim x → + ∞ f ( x ) = lim x → + ∞ x ( 1 − 1 / x ) x ( 1 + 1 / x ) \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{x(1 - 1/\sqrt{x})}{x(1+1/\sqrt{x})} x → + ∞ lim f ( x ) = x → + ∞ lim x ( 1 + 1 / √ x ) x ( 1 − 1 / √ x ) = lim x → + ∞ 1 − 1 / x 1 + 1 / x = 1 = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{1 - 1/\sqrt{x}}{1+1/\sqrt{x}} = 1 = x → + ∞ lim 1 + 1 / √ x 1 − 1 / √ x = 1
T le - Limites de fonctions (4)2
Soit la fonction f f f définie sur R \mathbb{R} R par :
f ( x ) = 1 x ( cos x + 2 ) . f(x)=\dfrac{1}{x(\cos x + 2)}. f ( x ) = x ( cos x + 2 ) 1 .
La fonction f f f n'admet pas de limite quand x x x tend vers + ∞ +\infty + ∞ .
T le - Limites de fonctions (4)2
T le - Limites de fonctions (4)2
T le - Limites de fonctions (4)2
C'est faux.
Pour x ≠ 0 x \neq 0 x ≠ 0 :
− 1 ⩽ cos x ⩽ 1 - 1 \leqslant \cos x \leqslant 1 − 1 ⩽ cos x ⩽ 1
1 3 x ⩽ 1 x ( cos x + 2 ) ⩽ 1 x \dfrac{1}{3x} \leqslant \dfrac{1}{x(\cos x + 2)} \leqslant \dfrac{1}{x} 3 x 1 ⩽ x ( cos x + 2 ) 1 ⩽ x 1
Donc, d'après le théorème des gendarmes :
lim x → + ∞ 1 x ( cos x + 2 ) = 0 . \lim\limits_{\scriptstyle x\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{x(\cos x + 2)}= 0. x → + ∞ lim x ( cos x + 2 ) 1 = 0 .
T le - Limites de fonctions (4)3
Soit la fonction f f f définie sur R \mathbb{R} R par :
f ( x ) = x + sin x . f(x)=x + \sin x. f ( x ) = x + sin x .
lim x → − ∞ f ( x ) = − ∞ \lim\limits_{x \rightarrow - \infty} f(x)= - \infty x → − ∞ lim f ( x ) = − ∞
T le - Limites de fonctions (4)3
T le - Limites de fonctions (4)3
T le - Limites de fonctions (4)3
C'est vrai.
x + sin x ⩽ x + 1 x + \sin x \leqslant x+1 x + sin x ⩽ x + 1
Donc, d'après un théorème de comparaison :
lim x → − ∞ f ( x ) = − ∞ . \lim\limits_{x \rightarrow - \infty} f(x)= - \infty. x → − ∞ lim f ( x ) = − ∞ .
T le - Limites de fonctions (4)4
Soit la fonction f f f définie sur R \mathbb{R} R par :
f ( x ) = x 2 + 1 − x . f(x)=\sqrt{x^2+1} - x. f ( x ) = √ x 2 + 1 − x .
lim x → + ∞ f ( x ) = 0 \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)= 0 x → + ∞ lim f ( x ) = 0
T le - Limites de fonctions (4)4
T le - Limites de fonctions (4)4
T le - Limites de fonctions (4)4
C'est vrai.
On multiplie et on divise par l'expression conjuguée x 2 + 1 + x \sqrt{x^2+1}+x √ x 2 + 1 + x :
lim x → + ∞ f ( x ) = lim x → + ∞ ( x 2 + 1 − x ) ( x 2 + 1 + x ) ( x 2 + 1 + x ) \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{(\sqrt{x^2+1} - x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{(\sqrt{x^2+1}+x)} x → + ∞ lim f ( x ) = x → + ∞ lim ( √ x 2 + 1 + x ) ( √ x 2 + 1 − x ) ( √ x 2 + 1 + x )
= lim x → + ∞ 1 x 2 + 1 + x = 0 =\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}= 0 = x → + ∞ lim √ x 2 + 1 + x 1 = 0
T le - Limites de fonctions (4)5
Soit la fonction f f f définie sur R \mathbb{R} R par :
f ( x ) = x 2 ( sin x + 5 ) . f(x)=x^2(\sin x +5). f ( x ) = x 2 ( sin x + 5 ) .
lim x → − ∞ f ( x ) = + ∞ \lim\limits_{x \rightarrow - \infty} f(x)= +\infty x → − ∞ lim f ( x ) = + ∞
T le - Limites de fonctions (4)5
T le - Limites de fonctions (4)5
T le - Limites de fonctions (4)5
C'est vrai.
Pour tout réel x x x
− 1 ⩽ sin x - 1 \leqslant \sin x − 1 ⩽ sin x
4 ⩽ sin x + 5 4 \leqslant \sin x +5 4 ⩽ sin x + 5
4 x 2 ⩽ x 2 ( sin x + 5 ) 4x^2 \leqslant x^2(\sin x +5) 4 x 2 ⩽ x 2 ( sin x + 5 )
Or lim x → + ∞ 4 x 2 = + ∞ . \lim\limits_{\scriptstyle x\rightarrow +\infty}4x^2= +\infty. x → + ∞ lim 4 x 2 = + ∞ . donc, d'après un théorème de comparaison :
lim x → + ∞ x 2 ( sin x + 5 ) = + ∞ . \lim\limits_{\scriptstyle x\rightarrow +\infty}x^2(\sin x +5)= +\infty. x → + ∞ lim x 2 ( sin x + 5 ) = + ∞ .
T le - Limites de fonctions (4)6
Soit la fonction f f f définie sur R \mathbb{R} R par :
f ( x ) = x sin x . f(x)=x \sin x. f ( x ) = x sin x .
lim x → + ∞ f ( x ) = + ∞ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)= +\infty x → + ∞ lim f ( x ) = + ∞
T le - Limites de fonctions (4)6
T le - Limites de fonctions (4)6
T le - Limites de fonctions (4)6
C'est faux.
f f f n'admet pas de limite quand x x x tend vers + ∞ . +\infty. + ∞ .