Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

Close

Formes indéterminées : fonctions rationnelles

Soit la fonction ff définie sur R\{1}\mathbb{R}\backslash\left\{1\right\} par f(x)=2x2+1(x−1)2f\left(x\right)=\frac{2x^{2}+1}{\left(x - 1\right)^{2}} et Cf \mathscr C_{f} sa courbe représentative dans un repère (O;i⃗,j⃗)\left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right).

Déterminer les équations des asymptotes à la courbe Cf \mathscr C_{f} .

Corrigé

  1. Limites en +∞+\infty et −∞ - \infty :

    On a une forme indéterminée du type «∞∞\frac{ \infty}{\infty} » (voir Méthode : Formes indéterminées)

    On développe le dénominateur puis on factorise par x2x^{2} au numérateur et au dénominateur :

    f(x)=2x2+1(x−1)2=2x2+1x2−2x+1=x2(2+1/x2)x2(1−2/x+1/x2)=2+1/x21−2/x+1/x2f\left(x\right)=\frac{2x^{2}+1}{\left(x - 1\right)^{2}}=\frac{2x^{2}+1}{x^{2} - 2x+1}=\frac{x^{2}\left(2+1/x^{2}\right)}{x^{2}\left(1 - 2/x+1/x^{2}\right)}=\frac{2+1/x^{2}}{1 - 2/x+1/x^{2}}

    Lorsque x→±∞x\rightarrow \pm \infty le numérateur tend vers 22 et le dénominateur tend vers 11 donc par quotient :

    limx→±∞f(x)=2\lim\limits_{x\rightarrow \pm \infty }f\left(x\right)=2

    La courbe Cf\mathscr C_{f} admet donc la droite d'équation y=2y=2 comme asymptote horizontale..

  2. Limite en 11 Lorsque x→1x\rightarrow 1, le dénominateur tend vers zéro; on a affaire à une limite du type «k0\frac{k}{0}» (voir fiche : limite du type «k/0k/0»)

    Pour x≠1x\neq 1 le dénominateur (qui est un carré) et le numérateur sont strictement positif donc :

    limx→1f(x)=+∞\lim\limits_{x\rightarrow 1}f\left(x\right)=+\infty

    Remarque : Il n'est pas utile de distinguer ici limite à gauche et limite à droite; en effet ff ne change pas de signe donc les limites à droite et à gauche sont égales.

    La courbe CfC_{f} admet donc une asymptote verticale d'équation x=1x=1

    Fonction

Dans ce chapitre :

Cours

Exercices

Méthodes

Quiz