Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

Close

Lever une forme indéterminée

Méthode 1 : Factoriser le terme de plus haut degré

Méthode

Cette méthode s'emploie notamment lorsque l'on rencontre une forme indéterminée du type « ∞−∞\infty - \infty  » pour un polynôme ou « ±∞±∞\frac{\pm \infty }{\pm \infty } » pour une fonction rationnelle. Elle consiste à :

  • mettre le terme de plus haut degré en facteur

  • dans le cas d'une fraction, simplifier au maximum

  • l'indétermination devrait avoir disparue et il est possible de calculer la limite à l'aide des règles de calcul usuelles

Exemple 1

Calculer limx→+∞(x2−3x)\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \left(x^{2} - 3x\right).

limx→+∞x2=+∞\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } x^{2}=+\infty

limx→+∞−3x=−∞\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } - 3x= - \infty

On rencontre ici une forme indéterminée du type « +∞−∞+\infty - \infty  ».

On va mettre x2x^{2} en facteur. Il ne s'agit pas d'une factorisation « classique » puisque x2x^{2} n'apparaît pas dans le terme −3x - 3x Il s'agit d'une factorisation « forcée » qui va faire apparaître des fractions dans le second facteur :

x2−3x=x2(1−3xx2)=x2(1−3x)x^{2} - 3x=x^{2}\left(1 - \frac{3x}{x^{2}}\right)=x^{2}\left(1 - \frac{3}{x}\right)

Maintenant l'indétermination a été levée. On a :

limx→+∞(−3x)=0\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( - \frac{3}{x}\right)=0

limx→+∞(1−3x)=1\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left(1 - \frac{3}{x}\right)=1

limx→+∞x2=+∞\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x^{2}=+\infty

et par produit :

limx→+∞x2(1−3x)=+∞\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } x^{2}\left(1 - \frac{3}{x}\right)=+\infty

En conclusion : limx→+∞(x2−3x)=+∞\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \left(x^{2} - 3x\right)=+\infty

Exemple 2

On veut calculer limx→−∞x2+1x+1\lim\limits_{x\rightarrow - \infty } \frac{x^{2}+1}{x+1}

limx→−∞(x2+1)=+∞\lim\limits_{x\rightarrow - \infty } \left(x^{2}+1\right)=+\infty

limx→−∞(x+1)=−∞\lim\limits_{x\rightarrow - \infty } \left(x+1\right)= - \infty

On a une forme indéterminée du type « +∞−∞\frac{+\infty }{ - \infty } »

On met x2x^{2} en facteur au numérateur et xx en facteur au dénominateur :

x2+1x+1=x2(1+1x2)x(1+1x)\frac{x^{2}+1}{x+1}=\frac{x^{2}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}

Puis on simplifie par xx :

x2(1+1x2)x(1+1x)=x(1+1x2)1+1x\frac{x^{2}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\frac{x\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}{1+\frac{1}{x}}

L'indétermination a disparue ; en effet :

limx→−∞(1+1x2)=1\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)=1

limx→−∞x(1+1x2)=−∞\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)= - \infty

limx→−∞(1+1x)=1\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\left(1+\frac{1}{x}\right)=1

donc par quotient :

limx→−∞x(1+1x2)1+1x=−∞\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\frac{x\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}{1+\frac{1}{x}}= - \infty

Finalement : limx→−∞x2+1x+1=−∞\lim\limits_{x\rightarrow - \infty } \frac{x^{2}+1}{x+1}= - \infty

Méthode 2 : Multiplier par l'« expression conjuguée »

Méthode

Cette méthode s'emploie lorsque l'on a affaire une forme indéterminée du type « ∞−∞\infty - \infty  » dans une expression comportant des racines carrées (du type A(x)−B(x)\sqrt{A\left(x\right)} - \sqrt{B\left(x\right)} par exemple).

Cette méthode consiste à multiplier et à diviser par l'« expression conjuguée » de A(x)−B(x)\sqrt{A\left(x\right)} - \sqrt{B\left(x\right)}, c'est à dire A(x)+B(x)\sqrt{A\left(x\right)}+\sqrt{B\left(x\right)}.

Exemple

Calculer limx→+∞x−x+1\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{x} - \sqrt{x+1}.

limx→+∞x=+∞\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{x}=+\infty

limx→+∞x+1=+∞\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{x+1}=+\infty

On rencontre donc une forme indéterminée du type « +∞−∞+\infty - \infty  ».

On va multiplier et diviser par x+x+1\sqrt{x} + \sqrt{x+1}:

x−x+1=(x−x+1)(x+x+1)x+x+1\sqrt{x} - \sqrt{x+1}=\frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{x+1}\right)\left(\sqrt{x} + \sqrt{x+1}\right)}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}

On a une identité remarquable au numérateur :

(x−x+1)(x+x+1)x+x+1=(x)2−(x+1)2x+x+1=x−(x+1)x+x+1=−1x+x+1\frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{x+1}\right)\left(\sqrt{x} + \sqrt{x+1}\right)}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}=\frac{\left(\sqrt{x}\right)^{2} - \left(\sqrt{x+1}\right)^{2}}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}=\frac{x - \left(x+1\right)}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}=\frac{ - 1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}

Il n'y a plus d'indétermination :

limx→+∞(x)=+∞\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left(\sqrt{x}\right)=+\infty

limx→+∞(x+1)=+∞\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left(\sqrt{x+1}\right)=+\infty

donc par somme :

limx→+∞(x+x+1)=+∞\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left(\sqrt{x} + \sqrt{x+1}\right)=+\infty

et par quotient :

limx→+∞−1x+x+1=0\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{ - 1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}=0

En conclusion : limx→+∞x−x+1=0\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{x} - \sqrt{x+1}=0

Méthode 3 : Utilisation de la définition du nombre dérivé

Cette méthode est détaillée sur cette page : Calcul de limites à l'aide de la définition du nombre dérivé

Dans ce chapitre :

Cours

Exercices

Méthodes

Quiz