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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Limites d'une fonction

1. Définitions

Définition

Limite infinie quand xx tend vers l'infini.

Soit ff une fonction définie sur un intervalle [a;+[\left[a; +\infty \right[.

On dit que que f(x)f\left(x\right) tend vers ++\infty quand xx tend vers ++\infty lorsque pour xx suffisamment grand, f(x)f\left(x\right) est aussi grand que l'on veut. On écrit alors que limx+f(x)=+\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f\left(x\right)=+\infty .

limite infinie

limx+f(x)=+\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f\left(x\right)=+\infty

Remarque

On définit de façon similaire les limites :

limx+f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f\left(x\right)= - \infty ; limxf(x)=+\lim\limits_{x\rightarrow - \infty } f\left(x\right)=+\infty ; limxf(x)=\lim\limits_{x\rightarrow - \infty } f\left(x\right)= - \infty .

Définition

Limite finie quand xx tend vers l'infini.

Soit ff une fonction définie sur un intervalle [a;+[\left[a ; +\infty \right[.

On dit que que f(x)f\left(x\right) tend vers ll quand xx tend vers ++\infty lorsque pour xx suffisamment grand, f(x)f\left(x\right) est aussi proche de ll que l'on veut. On écrit alors que limx+f(x)=l\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f\left(x\right)=l.

limite nulle

limx+f(x)=0\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f\left(x\right)=0

Remarque

On définit de façon similaire la limite limxf(x)=l\lim\limits_{x\rightarrow - \infty } f\left(x\right)=l.

Définition

Si limxf(x)=l\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }f\left(x\right)=l ou limx+f(x)=l\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=l, on dit que la droite d'équation y=ly=l est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction ff.

Exemple

Sur la courbe ci-dessus, la droite d'équation y=0y=0 est asymptote horizontale à la courbe représentative de ff.

Définition

Limite infinie quand xx tend vers un réel.

Soit ff une fonction définie sur un intervalle ]a;b[\left]a; b\right[ (avec a<ba < b).

On dit que que f(x)f\left(x\right) tend vers ++\infty quand xx tend vers aa par valeurs supérieures lorsque f(x)f\left(x\right) est aussi grand que l'on veut quand xx se rapproche de aa en restant supérieur à aa. On écrit alors limxa+f(x)=+\lim\limits_{x\rightarrow a^+} f\left(x\right)=+\infty ou limxax>af(x)=+\lim\limits_{\scriptstyle x\rightarrow a \atop\scriptstyle x > a} f\left(x\right)=+\infty .

De même, on dit que que f(x)f\left(x\right) tend vers ++\infty quand xx tend vers bb par valeurs inférieures lorsque f(x)f\left(x\right) est aussi grand que l'on veut quand xx se rapproche de bb en restant inférieur à bb. On écrit alors limxbf(x)=+\lim\limits_{x\rightarrow b^ - } f\left(x\right)=+\infty ou limxbx<bf(x)=+\lim\limits_{\scriptstyle x\rightarrow b \atop\scriptstyle x < b} f\left(x\right)=+\infty .

Enfin, si c]a;b[c\in \left]a;b\right[ , on dit que que f(x)f\left(x\right) tend vers ++\infty quand xx tend vers cc si f(x)f\left(x\right) tend vers ++\infty quand xx tend vers cc par valeurs supérieures et par valeurs inférieures. On écrit alors limxcf(x)=+\lim\limits_{x\rightarrow c} f\left(x\right)=+\infty .

Remarque

On définit de façon symétrique limxaf(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a^ - } f\left(x\right)= - \infty , limxa+f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a^+} f\left(x\right)= - \infty et limxaf(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a} f\left(x\right)= - \infty en remplaçant « f(x)f\left(x\right) est aussi grand que l'on veut » par « f(x)f\left(x\right) est aussi petit que l'on veut » dans la définition.

Définition

Si limxcf(x)=±\lim\limits_{x\rightarrow c^ - }f\left(x\right)=\pm \infty ou limxc+f(x)=±\lim\limits_{x\rightarrow c^+}f\left(x\right)=\pm \infty ou limxcf(x)=±\lim\limits_{x\rightarrow c}f\left(x\right)=\pm \infty , on dit que la droite d'équation x=cx=c est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction ff.

Exemple

Sur les trois courbes de la figure ci-dessous, la droite d'équation x=0x=0 est asymptote verticale à la courbe représentative de ff.

limite à droite et à gauche

Définition

Limite finie quand x tend vers un réel.

Soit ff une fonction définie sur un intervalle ]a;b[\left]a;b\right[ (avec a<ba < b).

On dit que que f(x)f\left(x\right) tend vers ll quand xx tend vers aa par valeurs supérieures lorsque f(x)f\left(x\right) se rapproche de ll quand x se rapproche de aa en restant supérieur à aa.

On écrit alors limxa+f(x)=l\lim\limits_{x\rightarrow a^+} f\left(x\right)=l ou limxax>af(x)=l\lim\limits_{\begin{matrix}x\rightarrow a \\ x > a\end{matrix}} f\left(x\right)=l.

De même, on dit que que f(x)f\left(x\right) tend vers ll quand xx tend vers bb par valeurs inférieures lorsque f(x)f\left(x\right) se rapproche de ll quand x se rapproche de bb en restant inférieur à bb.

On écrit alors limxbf(x)=l\lim\limits_{x\rightarrow b^ - } f\left(x\right)=l ou limxbx<bf(x)=l\lim\limits_{\begin{matrix}x\rightarrow b \\ x < b\end{matrix}} f\left(x\right)=l .

Enfin, si c]a;b[c\in \left]a; b\right[ , on dit que que f(x)f\left(x\right) tend vers ll quand xx tend vers cc si f(x)f\left(x\right) tend vers ll quand xx tend vers cc par valeurs supérieures et par valeurs inférieures.

On écrit alors limxcf(x)=l\lim\limits_{x\rightarrow c} f\left(x\right)=l.

2. Limites usuelles

Propriétés

Pour tout entier n>1n > 1 :

  • limxxn={ si n est impair+ si n est pair\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x^{n}=\left\{ \begin{matrix} - \infty \text{ si n est impair} \\ +\infty \text{ si n est pair} \end{matrix}\right.

  • limx+xn=+\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x^{n}=+\infty

  • limx1xn=0\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\frac{1}{x^{n}}=0

  • limx+1xn=0\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x^{n}}=0

  • limx01x=\lim\limits_{x\rightarrow 0^ - }\frac{1}{x}= - \infty

  • limx0+1x=+\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{1}{x}=+\infty

  • limx+x=+\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{x}=+\infty .

3. Opérations sur les limites

Propriétés

Limite d'une somme.

aa désigne un réel ou ++\infty ou - \infty .

limxaf(x)\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right) limxag(x)\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(x\right) limxaf(x)+g(x)\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)+g\left(x\right)
ll ll^{\prime} l+ll+l^{\prime}
ll ++\infty ++\infty
ll - \infty - \infty
++\infty ++\infty ++\infty
- \infty - \infty - \infty
++\infty - \infty F.I.F.I.

F.I.F.I. signifie forme indéterminée.

Remarque

« Forme indéterminée » ne signifie pas que la limite n'existe pas mais que les formules d'opérations sur les limites ne permettent pas de trouver directement limite. Pour la calculer, il faut alors « lever l'indétermination » par exemple en simplifiant une fraction (cf. fiches méthodes).

Propriétés

Limite d'un produit.

aa désigne un réel ou ++\infty ou - \infty .

limxaf(x)\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right) limxag(x)\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(x\right) limxaf(x)×g(x)\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)\times g\left(x\right)
ll ll^{\prime} l×ll\times l^{\prime}
l0l\neq 0 ±\pm \infty (signe)\left(signe\right)\infty
±\pm \infty ±\pm \infty (signe)\left(signe\right)\infty
00 ±\pm \infty F.I.F.I.

  • F.I.F.I. signifie forme indéterminée.

  • ±\pm \infty signifie que la formule s'applique pour ++\infty et pour - \infty .

  • (signe)\left(signe\right)\infty signifie que l'on utilise la règle des signes usuelle :

    +×+=++\times +=+

    +×=+\times - = -

    ×=+ - \times - =+

    pour déterminer si la limite vaut ++\infty ou - \infty .

Propriétés

Limite d'un quotient.

aa désigne un réel ou ++\infty ou - \infty .

limxaf(x)\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right) limxag(x)\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(x\right) limxaf(x)g(x)\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}
ll l0l^{\prime}\neq 0 ll\frac{l}{l^{\prime}}
l0l\neq 0 00 (signe)\left(signe\right)\infty
00 00 F.I.F.I.
ll ±\pm \infty 00
±\pm \infty ll (signe)\left(signe\right)\infty
±\pm \infty ±\pm \infty F.I.F.I.

Propriété

Limite d'une fonction composée.

aa, bb et cc désignent des réels ou ++\infty ou - \infty .

Si limxaf(x)=b\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=\color{red}{b} et limxbg(x)=c\lim\limits_{x\rightarrow \color{red}{b}}g\left(x\right)=c alors :

limxag(f(x))=c\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(f\left(x\right)\right)=c.

Remarque

On pose souvent X=f(x)X=f\left(x\right) («changement de variable») et on écrit alors :

limxaX=limxaf(x)=b\lim\limits_{x\rightarrow a}X=\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=b

limxag(f(x))=limXbg(X)=c\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(f\left(x\right)\right)=\lim\limits_{X\rightarrow b}g\left(X\right)=c.

Exemple

On cherche à calculer :

limx1+x2\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\sqrt{1+x^{2}}.

On pose X=1+x2X=1+x^{2}. Alors :

limxX=limx1+x2=+\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }X=\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }1+x^{2}=+\infty

et

limx1+x2=limX+X=+\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\sqrt{1+x^{2}}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\sqrt{X}=+\infty .

4. Théorèmes de comparaison

Théorèmes

  • Si f(x)g(x)f\left(x\right)\geqslant g\left(x\right) sur un intervalle de la forme [a;+[\left[a;+\infty \right[ et si limx+g(x)=+\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left(x\right)=+\infty alors :

    limx+f(x)=+\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=+\infty .

  • Si f(x)g(x)f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right) sur un intervalle de la forme [a;+[\left[a;+\infty \right[ et si limx+g(x)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left(x\right)= - \infty alors :

    limx+f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)= - \infty .

Théorème

Théorème des "gendarmes".

Si g(x)f(x)h(x)g\left(x\right)\leqslant f\left(x\right)\leqslant h\left(x\right) sur un intervalle de la forme [a;+[\left[a;+\infty \right[ et si limx+g(x)=limx+h(x)=l\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }h\left(x\right)=l alors :

limx+f(x)=l.\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=l.

Théorème des gendarmes

Théorème des gendarmes

Remarque

On a des théorèmes similaires lorsque xx \rightarrow - \infty .