Exercice 1

1. En $- \infty$ et en $+\infty$, on a une forme indéterminée du type « $+\infty - \infty$ » ; on lève l'indétermination en mettant $x^3$ en facteur :

   $\begin{aligned}f\left( x\right) &=x^{3} - 2x^{2}+4x+1\\ \\ &=x^{3}\left( 1 - \dfrac{2}{x}+\dfrac{4}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}\right) \end{aligned}$

   Limite en $- \infty$ :
   $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow - \infty } - \dfrac{2}{x}&=0\\ \\ \lim_{x\rightarrow - \infty} \dfrac{4}{x^{2}}&=0\\ \\ \lim_{x\rightarrow - \infty} \dfrac{1}{x^3}&=0\\ \end{aligned}$
   Donc, par somme :
   $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow - \infty }1 - \dfrac{2}{x}+\dfrac{4}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}&=1\end{aligned}$

   Par ailleurs :
   $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow - \infty } x^3 &= - \infty \end{aligned}$

   Donc, par produit :
   $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow - \infty }f(x) &= - \infty \end{aligned}$

   Limite en $+\infty$ :
   $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow +\infty } - \dfrac{2}{x}&=0\\ \\ \lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{4}{x^{2}}&=0\\ \\ \lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x^3}&=0\\ \end{aligned}$
   Donc, par somme :
   $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow +\infty }1 - \dfrac{2}{x}+\dfrac{4}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}&=1\end{aligned}$

   Par ailleurs :
   $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow +\infty } x^3 &= +\infty \end{aligned}$

   Donc, par produit :
   $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x) &= +\infty \end{aligned}$

2. En $- \infty$ et en $+\infty$, on a une forme indéterminée du type « $\dfrac{ +\infty }{ +\infty }$ » ;
   on lève l'indétermination en mettant $x^2$ en facteur, puis en simplifiant par $x^2$  :

   $\begin{aligned}g\left( x\right) &=\dfrac{x^{2} - 1}{x^{2}+1}\\ \\ &=\dfrac{x^{2}\left( 1 - \dfrac{1}{x^{2}}\right) }{x^{2}\left( 1+\dfrac{1}{x^{2}}\right) }\\ \\ &=\dfrac{1 - \dfrac{1}{x^{2}}}{1+\dfrac{1}{x^{2}}}\end{aligned}$

   Limites en $- \infty$ et en $+\infty$ :
   Avec un raisonnement similaire à la question a. :

   $\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow \pm \infty }1 - \dfrac{1}{x^{2}}=1\\ \\ \lim _{x\rightarrow \pm \infty }1+\dfrac{1}{x^{2}}=1\\ \end{aligned}$

   Donc par quotient :

   $\begin{aligned} \lim _{x\rightarrow \pm \infty }g\left( x\right) =1\end{aligned}$

3. En $- \infty$ et en $+\infty$, on a encore une forme indéterminée du type « $\dfrac{ \infty }{ \infty }$ » ;
   on lève l'indétermination en mettant $x$ en facteur au numérateur et $x^2$ en facteur au dénominateur, puis en simplifiant :
   $\begin{aligned}h\left( x\right) &=\dfrac{x - 1}{x^{2}+4x+4}\\ \\ &=\dfrac{x\left( 1 - \dfrac{1}{x}\right) }{x^{2}\left( 1+\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{x^{2}}\right) }\\ \\ &=\dfrac{1 - \dfrac{1}{x}}{x\left( 1+\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{x^{2}}\right) }\end{aligned}$

   Limites en $- \infty$ et en $+\infty$ :
   $\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow \pm \infty }1 - \dfrac{1}{x}&=1\\ \\ \lim _{x\rightarrow \pm \infty }1+\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{x^{2}}&=1\\ \\ \lim _{x\rightarrow - \infty }x&= - \infty\\ \\ \lim _{x\rightarrow +\infty }x&=+\infty \end{aligned}$

   Le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur tend vers $\pm \infty$ (par produit).
   Par conséquent, par quotient : $\lim_{x\rightarrow \pm \infty }h(x)=0$

4. On procède comme précédemment et on obtient :
   $\begin{aligned}k\left( x\right) &=\dfrac{x^{3}+1}{x^{2} - 1}\\ \\ &=\dfrac{x^{3}\left( 1+\dfrac{1}{x^{3}}\right) }{x^{2}\left( 1 - \dfrac{1}{x^{2}}\right) }\\ \\ &=\dfrac{x\left( 1+\dfrac{1}{x^{3}}\right) }{1 - \dfrac{1}{x^{2}}}\end{aligned}$

   Limite en $- \infty$ :

   $\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow - \infty }x\left( 1+\dfrac{1}{x^{3}}\right) &= - \infty \\ \\ \lim _{x\rightarrow - \infty }1 - \dfrac{1}{x^{2}}&=1\end{aligned}$

   donc par quotient $\lim_{x\rightarrow - \infty }k(x)= - \infty$

   Limite en $+\infty$ :

   $\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow +\infty }x\left( 1+\dfrac{1}{x^{3}}\right) &=+\infty \\ \\ \lim _{x\rightarrow +\infty }1 - \dfrac{1}{x^{2}}&=1\end{aligned}$

   par quotient $\lim_{x\rightarrow + \infty }k(x)= + \infty$

5. De même :
   $\dfrac{x - 1}{x+1}=\dfrac{x\left( 1 - \dfrac{1}{x}\right) }{x\left( 1+\dfrac{1}{x}\right) }=\dfrac{1 - \dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{1}{x}}$

   $\dfrac{x+1}{x - 1}=\dfrac{x\left( 1+\dfrac{1}{x}\right) }{x\left( 1 - \dfrac{1}{x}\right) }=\dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{1}{x}}$

   Alors :

   $\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow \pm \infty }\dfrac{x - 1}{x+1}=1\\ \\ \lim _{x\rightarrow \pm \infty }\dfrac{x+1}{x - 1}=1\end{aligned}$

   et par somme $\lim_{x\rightarrow \pm \infty }p(x)= 2$

Exercice 2

1. 
   $\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow +\infty }x=+\infty \\ \\ \lim _{x\rightarrow +\infty }e^{x}=+\infty \end{aligned}$

   donc par produit :

   $\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty$

2. 
   $\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow +\infty }x=+\infty \\ \\ \lim _{x\rightarrow +\infty }e^{x}=+\infty \end{aligned}$

   donc par somme :

   $\lim _{x\rightarrow +\infty }g(x)=+\infty$

3. 
   $\begin{aligned} \\ \lim _{x\rightarrow +\infty }e^{x}=+\infty \\ \\ \lim _{x\rightarrow +\infty }x^2=+\infty \\ \\ \lim _{x\rightarrow +\infty } - 1= - 1\\ \end{aligned}$
   donc par somme :

   $\lim _{x\rightarrow +\infty }h(x)=+\infty$

Exercice 3

Limites en $\pm \infty$ :

$\begin{aligned}f\left( x\right) &=\dfrac{3x - 1}{x - 1}\\ \\ &=\dfrac{x\left( 3 - \dfrac{1}{x}\right) }{x\left( 1 - \dfrac{1}{x}\right) }\\ \\ &=\dfrac{3 - \dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{1}{x}}\end{aligned}$

Lorsque $x$ tend vers $\pm \infty$, le numérateur tend vers $3$ et le dénominateur tend vers $1$ ; donc par quotient $\lim _{x\rightarrow \pm \infty }f\left( x\right) =3$

Limites à gauche en $1$ :

Lorsque $x$ tend vers $1$ en étant inférieur à $1$ :
$\lim_{\scriptsize\begin{matrix} x\rightarrow 1 \\ x <1 \end{matrix}}3x - 1=2$

$\lim _{\scriptsize\begin{matrix} x\rightarrow 1 \\ x <1 \end{matrix}}x - 1=0$ et $x - 1$ est négatif

donc par quotient :

$\lim _{\scriptsize\begin{matrix} x\rightarrow 1 \\ x <1 \end{matrix}}f(x)= - \infty$

Limites à droite en $1$ :

Lorsque $x$ tend vers $1$ en étant supérieur à $1$ :
$\lim _{\scriptsize\begin{matrix} x\rightarrow 1 \\ x >1 \end{matrix}}3x - 1=2$

$\lim _{\scriptsize\begin{matrix} x\rightarrow 1 \\ x >1 \end{matrix}}x - 1=0$ et $x - 1$ est positif

par quotient :

$\lim _{\scriptsize\begin{matrix} x\rightarrow 1 \\ x >1 \end{matrix}}f(x)=+\infty$

De ces résultats, on en déduit que la courbe représentative de $f$ admet :

• une asymptote horizontale d'équation $y=3$

• une asymptote verticale d'équation $x=1$

Exercice 4

1. $f$ est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et  : $f^{\prime}(x)=3x^2 - 2x - 1$

   $f^{\prime}$ est une fonction polynôme du second degré qui a une racine évidente $x_1=1$. Le produit des racines vaut $\frac{ c }{ a } = - \frac{ 1 }{ 3 }$ donc $x_2= - \frac{ 1 }{ 3 }$ (on peut aussi calculer $x_1$ et $x_2$ avec le discriminant mais c'est plus long ...). $f^{\prime}$ est du signe de $a(=3)$ donc positif à l'extérieur des racine et négatifs entre les racines.

   On en déduit le tableau de variations suivant :
   

   

   Ce tableau sera complété par la suite.

2. Pour tout $x \neq 0$ : $f\left( x\right) =x^{3}\left( 1 - \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x^{2}}+1\right)$.

   Donc, en suivant un raisonnement analogue à celui des exercices précédent, par produit :
   $\lim _{x\rightarrow - \infty }f\left( x\right) = - \infty$
   $\lim _{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =+\infty$

3. On peut compléter le tableau précédent en ajoutant ces limites et en calculant $f\left( - \dfrac{1}{3}\right) =\dfrac{32}{27}$ et $f(1) = 0$

   

Exercice 5

Déterminer les limites suivantes :

1. $\lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{x^{2} - 4}{x - 2}$
   On a une forme indéterminée du type « $\frac{ 0 }{ 0 }$ ».
   On lève l'indétermination en factorisant le numérateur (identité remarquable) et en simplifiant.

   $\dfrac{x^{2} - 4}{x - 2}=\dfrac{\left( x - 2\right) \left( x+2\right) }{x - 2}=x+2$
   
   Ainsi :
   $\lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{x^{2} - 4}{x - 2} = 2+2=4$

2. $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{x^{3} - x}{x^{3}+x}$
   On a, ici aussi, une forme indéterminée du type « $\frac{ 0 }{ 0 }$ ».
   On lève l'indétermination en factorisant $x$ au numérateur et au dénominateur puis en simplifiant.
   (Remarque : mettre $x^3$ en facteur ne fonctionnerait pas ici ; en règle générale, on met le terme de plus haut degré en facteur pour une forme indéterminée du type « $\frac{ \infty }{ \infty }$ » ou du type « $+ \infty - \infty$ »).
   
   $\dfrac{x^{3} - x}{x^{3}+x}=\dfrac{x\left( x^{2} - 1\right) }{x\left( x^{2}+1\right) }=\dfrac{x^{2} - 1}{x^{2}+1}$
   
   Par conséquent :

   $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{x^{3} - x}{x^{3}+x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{x^{2} - 1}{x^{2}+1}$$=\dfrac{0^{2} - 1}{0^{2}+1}= - 1$

3. $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}$ C'est, encore une fois, une forme indéterminée du type « $\frac{ 0 }{ 0 }$ ».
   Il y a plusieurs méthode pour lever l'indétermination.
   On peut notamment multiplier le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{ x } +1$ :

   Pour tout $x \geqslant 0$ et différent de 1 :

   $\begin{aligned}\dfrac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}&=\dfrac{\left( \sqrt{x} - 1\right) \left( \sqrt{x}+1\right) }{\left( x - 1\right) \left( \sqrt{x}+1\right) }\\ \\ &=\dfrac{x - 1}{ \left( x - 1\right) \left( \sqrt{x}+1\right)} \\ \\ &=\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\end{aligned}$

   On a alors :

   $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}$$=\dfrac{1}{\sqrt{1}+1}=\dfrac{1}{2}$

   (Pour une autre méthode voir la fiche : Calculer une limite à l'aide du nombre dérivé.)