Géométrie dans l’espace – Bac S Pondichéry 2016

Partie A

• Les points $ I, J,C $ et $ G $ sont coplanaires. Pour placer le point $ L $, il suffit de prolonger les droites $ (IJ) $ et $ (GC) $.
• Les points $ K $ et $ L $ appartiennent tous deux aux plans $ IJK $ et $ CDH $. L'intersection$ \mathscr{D} $ de ces plans est donc la droite $ (LK) $. Cette droite coupe le côté $ [DH] $ en un point $ P $.
• La section du cube par le plan $ (IJK) $ a pour côtés $ [IJ], [JK] $ et $ [KP] $. Les trois autres côtés s'obtiennent en traçant les parallèles à $ [IJ], [JK] $ et $ [KP] $. On obtient ainsi un hexagone régulier $ IJKPQR $.

Partie B

1. Par lecture directe :
   
   $ A(0;0;0) $
   
   $ G(1;1;1) $
   
   $ I\left(1;0;\dfrac{1}{2}\right) $
   
   $ J\left(1;\dfrac{1}{2};0\right) $
   
   $ K\left(\dfrac{1}{2};1;0\right) $

2. 1. Pour montrer que le vecteur $ \overrightarrow{AG} $ est normal au plan $ (IJK) $, il suffit de montrer que $ \overrightarrow{AG} $ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan, par exemple $ \overrightarrow{IJ} $ et $ \overrightarrow{JK} $.

      • Les coordonnées de $ \overrightarrow{IJ} $ sont $ \begin{pmatrix} 0 \\ 1/2 \\ - 1/2 \end{pmatrix} $ et les coordonnées de $ \overrightarrow{AG} $ sont $ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $.
        
        $ \overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{AG}=0 \times 1+\dfrac{1}{2} \times 1 - \dfrac{1}{2} \times 1 = 0 $
        
        Donc les vecteurs $ \overrightarrow{IJ} $ et $ \overrightarrow{AG} $ sont orthogonaux.
      • Les coordonnées de $ \overrightarrow{JK} $ sont $ \begin{pmatrix} - 1/2 \\ 1/2 \\ 0 \end{pmatrix} $.
        
        $ \overrightarrow{JK}.\overrightarrow{AG}= - \dfrac{1}{2} \times 1+\dfrac{1}{2} \times 1 +0 \times 1= 0 $
        
        Donc les vecteurs $ \overrightarrow{JK} $ et $ \overrightarrow{AG} $ sont orthogonaux.

      Le vecteur $ \overrightarrow{AG} $ est donc normal au plan $ (IJK) $.

   2. Le plan $ (IJK) $ admet donc une équation cartésienne de la forme $ x+y+z+d=0 $.
      
      Ce plan passant par $ I $, les coordonnées de $ I $ vérifient l'équation.
      
      Par conséquent :
      
      $ 1+0+\dfrac{1}{2}+d=0 $
      
      $ d= - \dfrac{3}{2} $
      
      Une équation cartésienne du plan $ (IJK) $ est donc $ x+y+z - \dfrac{3}{2}=0 $
3. 1. Les coordonnées du point $ G $ étant $ (1;1;1) $ et $ A $ étant l'origine du repère, la relation $ \overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AG} $ entraîne que les coordonnées de $ M $ sont $ (t;t;t) $.
      
      Alors :
      
      $ MI^2=(1 - t)^2+( - t)^2+ \left(\dfrac{1}{2} - t \right)^2 $
      
      $ \phantom{MI^2}=1 - 2t+t^2+t^2+\dfrac{1}{4} - t +t^2 $
      
      $ \phantom{MI^2}= 3t^2 - 3t+\dfrac{5}{4} $
   2. La fonction carrée étant strictement croissante sur $ \mathbb{R}^+ $, $ MI^2 $ et $ MI $ ont des sens de variations identiques.
      
      $ MI^2 $ est un polynôme du second degré en $ t $ de coefficients $ a=3,\ b= - 3 $ et $ c=\dfrac{5}{4} $.
      
      $ a>0 $ donc $ MI^2 $ admet un minimum pour $ t_0= - \dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{2} $. Les coordonnées de $ M $ sont alors $ \left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right) $.
      
      La distance $ MI $ est donc minimale au point $ M\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right) $
4. 1. Pour prouver que le point $ M $ appartient au plan $ (IJK) $, il suffit de montrer que les coordonnées de $ M $ vérifient l'équation du plan $ (IJK) $ (trouvée en 2.a.).
      
      C'est immédiat :
      
      $ \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2}=0 $

   2. Pour montrer que deux droites sont perpendiculaires il faut montrer qu'elles sont orthogonales et sécantes.

      • $ (IM) $ et $ (AG) $ sont sécantes en $ M $ puisque, par hypothèse, $ M $ est un point du segment $ [AG] $. Par ailleurs, $ (IM) $ est incluse dans le plan $ (IJK) $ qui est perpendiculaire à $ (AG) $ d'après 2.a. donc $ (IM) $ et $ (AG) $ sont orthogonales.
      • $ (IM) $ et $ (BF) $ sont sécantes en $ I $.
        
        Les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{IM} $ et $ \overrightarrow{BF} $ sont $ \overrightarrow{IM}\begin{pmatrix} - 1/2 \\ 1/2 \\ 0 \end{pmatrix} $et $ \overrightarrow{BF}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $
        
        $ \overrightarrow{IM}.\overrightarrow{BF}= - \dfrac{1}{2} \times 0 + \dfrac{1}{2} \times 0 + 0 \times 1=0 $.
        
        Donc $ (IM) $ et $ (BF) $ sont orthogonales.

      La droite ($ IM $) est donc perpendiculaire aux droites $ (AG) $ et $ (BF) $.

Pour réviser : Démontrer qu'une droite est perpendiculaire à un plan