Exercice corrigéExercice 3 - 5 points
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
ABCDEFGH désigne un cube de côté 1.
Le point I est le milieu du segment [BF].
Le point J est le milieu du segment [BC].
Le point K est le milieu du segment [CD].
Partie A
Dans cette partie, on ne demande aucune justification
On admet que les droites (IJ) et (CG) sont sécantes en un point L.
Construire, sur la figure fournie en annexe et en laissant apparents les traits de construction :
- le point L;
- l'intersection\mathscr{D} des plans (IJK) et (CDH);
- la section du cube par le plan (IJK)
Partie B
L’espace est rapporté au repère \left(A ~;~\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AD},~\overrightarrow{AE}\right).
- Donner les coordonnées de A, G, I, J et K dans ce repère.
- Montrer que le vecteur \overrightarrow{AG} est normal au plan (IJK).
- En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).
- On désigne par M un point du segment [AG] et t le réel de l'intervalle [0~;~1] tel que \overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AG}.
- Démontrer que M\text{I}^2 = 3t^2-3t+\dfrac{5}{4}.
- Démontrer que la distance MI est minimale pour le point M\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right).
- Démontrer que pour ce point M\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right) :
- M appartient au plan (IJK).
- La droite (IM) est perpendiculaire aux droites (AG) et (BF).
Corrigé
Partie A
- Les points I, J,C et G sont coplanaires. Pour placer le point L, il suffit de prolonger les droites (IJ) et (GC).
- Les points K et L appartiennent tous deux aux plans IJK et CDH. L'intersection\mathscr{D} de ces plans est donc la droite (LK). Cette droite coupe le côté [DH] en un point P.
- La section du cube par le plan (IJK) a pour côtés [IJ], [JK] et [KP]. Les trois autres côtés s'obtiennent en traçant les parallèles à [IJ], [JK] et [KP]. On obtient ainsi un hexagone régulier IJKPQR.
Partie B
- Par lecture directe :
A(0;0;0)
G(1;1;1)
I\left(1;0;\frac{1}{2}\right)
J\left(1;\frac{1}{2};0\right)
K\left(\frac{1}{2};1;0\right) - Pour montrer que le vecteur \overrightarrow{AG} est normal au plan (IJK), il suffit de montrer que \overrightarrow{AG} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan, par exemple \overrightarrow{IJ} et \overrightarrow{JK}.
- Les coordonnées de \overrightarrow{IJ} sont \begin{pmatrix} 0 \\ 1/2 \\ -1/2 \end{pmatrix} et les coordonnées de \overrightarrow{AG} sont \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.
\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{AG}=0 \times 1+\frac{1}{2} \times 1-\frac{1}{2} \times 1 = 0
Donc les vecteurs \overrightarrow{IJ} et \overrightarrow{AG} sont orthogonaux. - Les coordonnées de \overrightarrow{JK} sont \begin{pmatrix} -1/2 \\ 1/2 \\ 0 \end{pmatrix}.
\overrightarrow{JK}.\overrightarrow{AG}=-\frac{1}{2} \times 1+\frac{1}{2} \times 1 +0 \times 1= 0
Donc les vecteurs \overrightarrow{JK} et \overrightarrow{AG} sont orthogonaux.
Le vecteur \overrightarrow{AG} est donc normal au plan (IJK).
- Les coordonnées de \overrightarrow{IJ} sont \begin{pmatrix} 0 \\ 1/2 \\ -1/2 \end{pmatrix} et les coordonnées de \overrightarrow{AG} sont \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.
- Le plan (IJK) admet donc une équation cartésienne de la forme x+y+z+d=0.
Ce plan passant par I, les coordonnées de I vérifient l'équation.
Par conséquent :
1+0+\frac{1}{2}+d=0
d=-\frac{3}{2}
Une équation cartésienne du plan (IJK) est donc x+y+z-\frac{3}{2}=0
- Pour montrer que le vecteur \overrightarrow{AG} est normal au plan (IJK), il suffit de montrer que \overrightarrow{AG} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan, par exemple \overrightarrow{IJ} et \overrightarrow{JK}.
- Les coordonnées du point G étant (1;1;1) et A étant l'origine du repère, la relation \overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AG} entraîne que les coordonnées de M sont (t;t;t).
Alors :
MI^2=(1-t)^2+(-t)^2+ \left(\frac{1}{2}-t \right)^2
\phantom{MI^2}=1-2t+t^2+t^2+\frac{1}{4}-t +t^2
\phantom{MI^2}= 3t^2-3t+\dfrac{5}{4} - La fonction carrée étant strictement croissante sur \mathbb{R}^+, MI^2 et MI ont des sens de variations identiques.
MI^2 est un polynôme du second degré en t de coefficients a=3,\ b=-3 et c=\frac{5}{4}.
a>0 donc MI^2 admet un minimum pour t_0=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}. Les coordonnées de M sont alors \left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right).La distance MI est donc minimale au point M\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)
- Les coordonnées du point G étant (1;1;1) et A étant l'origine du repère, la relation \overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AG} entraîne que les coordonnées de M sont (t;t;t).
- Pour prouver que le point M appartient au plan (IJK), il suffit de montrer que les coordonnées de M vérifient l'équation du plan (IJK) (trouvée en 2.a.).
C'est immédiat :
\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=0 - Pour montrer que deux droites sont perpendiculaires ils faut montrer qu'elles sont orthogonales et sécantes.
- (IM) et (AG) sont sécantes en M puisque, par hypothèse, M est un point du segment [AG]. Par ailleurs, (IM) est incluse dans le plan (IJK) qui est perpendiculaire à (AG) d'après 2.a. donc (IM) et (AG) sont orthogonales.
- (IM) et (BF) sont sécantes en I.
Les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{IM} et \overrightarrow{BF} sont \overrightarrow{IM}\begin{pmatrix} -1/2 \\ 1/2 \\ 0 \end{pmatrix}et \overrightarrow{BF}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{BF}=-\frac{1}{2} \times 0 + \frac{1}{2} \times 0 + 0 \times 1=0.
Donc (IM) et (BF) sont orthogonales.
La droite (IM) est donc perpendiculaire aux droites (AG) et (BF).
- Pour prouver que le point M appartient au plan (IJK), il suffit de montrer que les coordonnées de M vérifient l'équation du plan (IJK) (trouvée en 2.a.).
