Exercice corrigéOn considère les fonctions f_n définies sur \mathbb{R} \backslash \{1\} par :
f_n(x)=\frac{1-nx}{x-1}
où n est un entier relatif quelconque.
On note (C_n) la courbe représentative de f_n dans un repère orthonormal (O;I,J).
- Montrer que pour tout entier n, la courbe (C_n) passe par le point A(0;-1).
- Caractériser la courbe (C_{1}) représentant la fonction f_{1}.
- Déterminer, suivant les valeurs de n, le sens de variation de la fonction f_n.
- Tracer les courbes (C_{0}), (C_{1}) et (C_{2}) dans le même repère.
- On note (T_n) la tangente à la courbe (C_{n}) au point A.
Donner les équations des droites (T_{0}) et (T_{2}) et tracer ces droites sur la figure précédente.
Corrigé
- Pour montrer que la courbe représentative d'une fonction f passe par un point A(x_A;y_A), il suffit de montrer que f(x_A)=y_A
Pour tout entier n :
f_n(0)=\frac{1-n \times 0}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1
Donc la courbe (C_n) passe par le point A de coordonnées A(0;-1). - Pour n=1 et x \in \mathbb{R} \backslash \{1\} on obtient :
f_1(x)=\frac{1-x}{x-1}==\frac{-(x-1)}{x-1}=-1La fonction f_1 est donc constante et égale à -1 sur \mathbb{R} \backslash \{1\}.
Il faut toutefois faire attention au fait que f_1 n'est pas définie pour x=1. La courbe (C_1) est donc la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par le point A(0;-1) (d'après la question précédente) dont on a retiré le point d'abscisse 1 (voir figure à la question 4.).
- f_n est dérivable sur son ensemble de définition comme quotient de fonctions dérivables.
f_n est de la forme \frac{u}{v} avec :
u(x)=1-nx donc u^{\prime}(x)=-n
v(x)=x-1 donc v^{\prime}(x)=1On obtient alors :
f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x)v(x)-u(x)v(x)^{\prime}}{v(x)^2}=\frac{-n(x-1)-(1-nx)}{(x-1)^2}=\frac{n-1}{(x-1)^2}
f^{\prime} est du signe de n-1 :
- si n < 1, f^{\prime} est négative sur \mathbb{R} \backslash \{1\} donc f est décroissante sur ]-\infty ; 1[ et sur ]1 ; +\infty[
- si n > 1, f^{\prime} est positive sur \mathbb{R} \backslash \{1\} donc f est croissante sur ]-\infty ; 1[ et sur ]1 ; +\infty[
- si n=1, f est constante sur \mathbb{R} \backslash \{1\}. Ce cas a été traité à la question précédente.
- Voir graphique ci-dessous.
- L'équation de la tangente à (C_0) au point A d'abscisse 0 est :
y=f_0^{\prime}(0)(x-0)+f_0(0)Or f_0(0)=-1 (d'après la question 1.)
et f_0^{\prime}(x)=-\frac{1}{(x-1)^2} (d'après la question 3.) donc f^{\prime}_0(0)=-1L'équation de (T_0) est donc
y=-x-1De même, l'équation de (T_2) est :
y=f_2^{\prime}(0)(x-0)+f_2(0)
avec f_2(0)=-1 et f_2^{\prime}(x)=\frac{1}{(x-1)^2} donc f^{\prime}_2(0)=1L'équation de (T_2) est donc
y=x-1Les droites (T_0) et (T_2) sont représentées ci-dessous :
