Famille de fonctions
On considère les fonctions fn définies sur R\{1} par :
fn(x)=x−11−nx
où n est un entier relatif quelconque.
On note (Cn) la courbe représentative de fn dans un repère orthonormal (O;I,J).
Montrer que pour tout entier n, la courbe (Cn) passe par le point A(0;−1).
Caractériser la courbe (C1) représentant la fonction f1.
Déterminer, suivant les valeurs de n, le sens de variation de la fonction fn.
Tracer les courbes (C0), (C1) et (C2) dans le même repère.
On note (Tn) la tangente à la courbe (Cn) au point A.
Donner les équations des droites (T0) et (T2) et tracer ces droites sur la figure précédente.
Rappel
Pour montrer que la courbe représentative d'une fonction f passe par un point A(xA;yA), il suffit de montrer que f(xA)=yA
Pour tout entier n :
fn(0)=0−11−n×0=−11=−1
Donc la courbe (Cn) passe par le point A de coordonnées A(0;−1).
Pour n=1 et x∈R\{1} on obtient :
f1(x)=x−11−x==x−1−(x−1)=−1
La fonction f1 est donc constante et égale à −1 sur R\{1}.
Il faut toutefois faire attention au fait que f1 n'est pas définie pour x=1. La courbe (C1) est donc la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par le point A(0;−1) (d'après la question précédente) dont on a retiré le point d'abscisse 1 (voir figure à la question 4.).
fn est dérivable sur son ensemble de définition comme quotient de fonctions dérivables.
fn est de la forme vu avec :
u(x)=1−nx donc u′(x)=−n
v(x)=x−1 donc v′(x)=1
On obtient alors :
f′(x)=v(x)2u′(x)v(x)−u(x)v(x)′=(x−1)2−n(x−1)−(1−nx)=(x−1)2n−1
f′ est du signe de n−1 :
si n<1, f′ est négative sur R\{1} donc f est décroissante sur ]−∞;1[ et sur ]1;+∞[
si n>1, f′ est positive sur R\{1} donc f est croissante sur ]−∞;1[ et sur ]1;+∞[
si n=1, f est constante sur R\{1}. Ce cas a été traité à la question précédente.
Voir graphique ci-dessous.
L'équation de la tangente à (C0) au point A d'abscisse 0 est :
y=f0′(0)(x−0)+f0(0)
Or f0(0)=−1 (d'après la question 1.)
et f0′(x)=−(x−1)21 (d'après la question 3.) donc f0′(0)=−1
L'équation de (T0) est donc
y=−x−1
De même, l'équation de (T2) est :
y=f2′(0)(x−0)+f2(0)
avec f2(0)=−1 et f2′(x)=(x−1)21 donc f2′(0)=1
L'équation de (T2) est donc
y=x−1
Les droites (T0) et (T2) sont représentées ci-dessous :
