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Nombre dérivé - Fonction dérivée Exercices

Famille de fonctions

Durée estimée
20 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

On considère les fonctions $ f_n $ définies sur $ \mathbb{R} \backslash \{1\} $ par :

$ f_n(x)=\dfrac{1 - nx}{x - 1} $

où $ n $ est un entier relatif quelconque.

On note $ (C_n) $ la courbe représentative de $ f_n $ dans un repère orthonormal $ (O;I,J) $.

  1. Montrer que pour tout entier $ n $, la courbe $ (C_n) $ passe par le point $ A(0; - 1) $.
  2. Caractériser la courbe $ (C_{1}) $ représentant la fonction $ f_{1} $.
  3. Déterminer, suivant les valeurs de $ n $, le sens de variation de la fonction $ f_n $.
  4. Tracer les courbes $ (C_{0}) $, $ (C_{1}) $ et $ (C_{2}) $ dans le même repère.
  5. On note $ (T_n) $ la tangente à la courbe $ (C_{n}) $ au point $ A $.

    Donner les équations des droites $ (T_{0}) $ et $ (T_{2}) $ et tracer ces droites sur la figure précédente.

Corrigé

  1. Rappel
    Pour montrer que la courbe représentative d'une fonction $ f $ passe par un point $ A(x_A;y_A) $, il suffit de montrer que $ f(x_A)=y_A $

    Pour tout entier $ n $ :

    $ f_n(0)=\dfrac{1 - n \times 0}{0 - 1}=\dfrac{1}{ - 1}= - 1 $

    Donc la courbe $ (C_n) $ passe par le point $ A $ de coordonnées $ A(0; - 1) $.

  2. Pour $ n=1 $ et $ x \in \mathbb{R} \backslash \{1\} $ on obtient :

    $ f_1(x)=\dfrac{1 - x}{x - 1}=\dfrac{ - (x - 1)}{x - 1}= - 1 $

    La fonction $ f_1 $ est donc constante et égale à $ - 1 $ sur $ \mathbb{R} \backslash \{1\} $.

    Il faut toutefois faire attention au fait que $ f_1 $ n'est pas définie pour $ x=1 $. La courbe $ (C_1) $ est donc la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par le point $ A(0; - 1) $ (d'après la question précédente) dont on a retiré le point d'abscisse $ 1 $ (voir figure à la question 4.).

  3. $ f_n $ est dérivable sur son ensemble de définition comme quotient de fonctions dérivables.

    $ f_n $ est de la forme $ \dfrac{u}{v} $ avec :

    $ u(x)=1 - nx $ donc $ u^{\prime}(x)= - n $

    $ v(x)=x - 1 $ donc $ v^{\prime}(x)=1 $

    On obtient alors :

    $ f^{\prime}(x)=\dfrac{u^{\prime}(x)v(x) - u(x)v(x)^{\prime}}{v(x)^2} =\dfrac{ - n(x - 1) - (1 - nx)}{(x - 1)^2}=\dfrac{n - 1}{(x - 1)^2} $

    $ f^{\prime} $ est du signe de $ n - 1 $ :

    • si $ n < 1 $, $ f^{\prime} $ est négative sur $ \mathbb{R} \backslash \{1\} $ donc $ f $ est décroissante sur $ ] - \infty ; 1[ $ et sur $ ]1 ; +\infty[ $
    • si $ n > 1 $, $ f^{\prime} $ est positive sur $ \mathbb{R} \backslash \{1\} $ donc $ f $ est croissante sur $ ] - \infty ; 1[ $ et sur $ ]1 ; +\infty[ $
    • si $ n=1 $, $ f $ est constante sur $ \mathbb{R} \backslash \{1\} $. Ce cas a été traité à la question précédente.
  4. Voir graphique ci-dessous.

  5. L'équation de la tangente à $ (C_0) $ au point $ A $ d'abscisse $ 0 $ est :

    $ y=f_0^{\prime}(0)(x - 0)+f_0(0) $

    Or $ f_0(0)= - 1 $ (d'après la question 1.)

    et $ f_0^{\prime}(x)= - \dfrac{1}{(x - 1)^2} $ (d'après la question 3.) donc $ f^{\prime}_0(0)= - 1 $

    L'équation de $ (T_0) $ est donc :

    $\mathbf{y= - x - 1}$

    De même, l'équation de $ (T_2) $ est :

    $ y=f_2^{\prime}(0)(x - 0)+f_2(0) $

    avec $ f_2(0)= - 1 $ et $ f_2^{\prime}(x)=\dfrac{1}{(x - 1)^2} $ donc $ f^{\prime}_2(0)=1 $

    L'équation de $ (T_2) $ est donc :

    $\mathbf{y=x - 1}$

    Les droites $ (T_0) $ et $ (T_2) $ sont représentées ci-dessous :

    Famille de fonctions