Famille de fonctions - Maths-cours

On considère les fonctions $f_n$ définies sur $\mathbb{R} \backslash \{1\}$ par :

$f_n(x)=\frac{1-nx}{x-1}$

où $n$ est un entier relatif quelconque.

On note $(C_n)$ la courbe représentative de $f_n$ dans un repère orthonormal $(O;I,J)$ .

Montrer que pour tout entier $n$ , la courbe $(C_n)$ passe par le point $A(0;-1)$ .
Caractériser la courbe $(C_{1})$ représentant la fonction $f_{1}$ .
Déterminer, suivant les valeurs de $n$ , le sens de variation de la fonction $f_n$ .
Tracer les courbes $(C_{0})$ , $(C_{1})$ et $(C_{2})$ dans le même repère.
On note $(T_n)$ la tangente à la courbe $(C_{n})$ au point $A$ .
Donner les équations des droites $(T_{0})$ et $(T_{2})$ et tracer ces droites sur la figure précédente.

Corrigé

Pour montrer que la courbe représentative d'une fonction $f$ passe par un point $A(x_A;y_A)$ , il suffit de montrer que $f(x_A)=y_A$

Pour tout entier $n$ :
$f_n(0)=\frac{1-n \times 0}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1$

Donc la courbe $(C_n)$ passe par le point $A$ de coordonnées $A(0;-1)$ .
Pour $n=1$ et $x \in \mathbb{R} \backslash \{1\}$ on obtient :
$f_1(x)=\frac{1-x}{x-1}==\frac{-(x-1)}{x-1}=-1$

La fonction $f_1$ est donc constante et égale à $-1$ sur $\mathbb{R} \backslash \{1\}$ .

Il faut toutefois faire attention au fait que $f_1$ n'est pas définie pour $x=1$ . La courbe $(C_1)$ est donc la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par le point $A(0;-1)$ (d'après la question précédente) dont on a retiré le point d'abscisse $1$ (voir figure à la question 4.).
f_n est dérivable sur son ensemble de définition comme quotient de fonctions dérivables.
f_n est de la forme \frac{u}{v} avec :
u(x)=1-nx donc u^{\prime}(x)=-n
v(x)=x-1 donc v^{\prime}(x)=1

On obtient alors :

$f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x)v(x)-u(x)v(x)^{\prime}}{v(x)^2}$ $=\frac{-n(x-1)-(1-nx)}{(x-1)^2}=\frac{n-1}{(x-1)^2}$

$f^{\prime}$ est du signe de $n-1$ :
- si $n < 1$ , $f^{\prime}$ est négative sur $\mathbb{R} \backslash \{1\}$ donc $f$ est décroissante sur $]-\infty ; 1[$ et sur $]1 ; +\infty[$
- si $n > 1$ , $f^{\prime}$ est positive sur $\mathbb{R} \backslash \{1\}$ donc $f$ est croissante sur $]-\infty ; 1[$ et sur $]1 ; +\infty[$
- si $n=1$ , $f$ est constante sur $\mathbb{R} \backslash \{1\}$ . Ce cas a été traité à la question précédente.
Voir graphique ci-dessous.
L'équation de la tangente à $(C_0)$ au point $A$ d'abscisse $0$ est :
$y=f_0^{\prime}(0)(x-0)+f_0(0)$

Or $f_0(0)=-1$ (d'après la question 1.)
et $f_0^{\prime}(x)=-\frac{1}{(x-1)^2}$ (d'après la question 3.) donc $f^{\prime}_0(0)=-1$

L'équation de $(T_0)$ est donc
$y=-x-1$

De même, l'équation de $(T_2)$ est :
$y=f_2^{\prime}(0)(x-0)+f_2(0)$
avec $f_2(0)=-1$ et $f_2^{\prime}(x)=\frac{1}{(x-1)^2}$ donc $f^{\prime}_2(0)=1$

L'équation de $(T_2)$ est donc
$y=x-1$

Les droites $(T_0)$ et $(T_2)$ sont représentées ci-dessous :

Corrigé

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