Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Démographie : utilisation d'une suite annexe

Au 1er janvier 2005, une ville en pleine expansion avait une population de 100000100 000 habitants.

Un bureau d'étude fait l'hypothèse qu'à partir du 1er janvier 2005 :

Partie A : Etude théorique

Pour tout entier naturel n, on note unu_{n} le nombre d'habitants de cette ville au 1er janvier de l'année 2005+n2005+n.

Ainsi, u0=100000u_{0}=100 000.

  1. Calculer u1u_{1} et u2u_{2}.

  2. Justifier que, pour tout entier naturel n, un+1=1,05un+4000u_{n+1}=1,05u_{n}+ 4 000.

  3. Pour tout entier naturel n, on pose vn=un+80000v_{n}=u_{n}+80 000.

    1. Calculer v0v_{0}.

    2. Montrer que (vn)nN\left(v_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}} est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

    3. Exprimer vnv_{n} en fonction de n. En déduire que un=180000×1,05n80000u_{n}=180 000\times 1,05^{n} - 80 000.

    4. Calculer la limite de la suite (un)nN\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}.

Partie B

Le but de cette partie est de prévoir l'évolution de la population jusqu'en 2020, en utilisant le modèle théorique étudié à la Partie A.

  1. Quel sera le nombre d'habitants de la ville au 1er janvier 2020 ?

  2. A partir de quelle année la population de cette ville dépassera-t-elle 200 000 habitants ?