Au 1er janvier 2005, une ville en pleine expansion avait une population de 100 000 habitants.
Un bureau d'étude fait l'hypothèse qu'à partir du 1er janvier 2005 :
- le nombre d'habitants de la ville augmente chaque année de 5% du fait des naissances et des décès;
- du fait des mouvements migratoires, 4 000 personnes supplémentaires viennent s'installer chaque année dans cette ville.
Partie A : Etude théorique
Pour tout entier naturel n, on note u_{n} le nombre d'habitants de cette ville au 1er janvier de l'année 2005+n.
Ainsi, u_{0}=100 000.
- Calculer u_{1} et u_{2}.
- Justifier que, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=1,05u_{n}+ 4 000.
- Pour tout entier naturel n, on pose v_{n}=u_{n}+80 000.
- Calculer v_{0}.
- Montrer que \left(v_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}} est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
- Exprimer v_{n} en fonction de n. En déduire que u_{n}=180 000\times 1,05^{n}-80 000.
- Calculer la limite de la suite \left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}.
Partie B
Le but de cette partie est de prévoir l'évolution de la population jusqu'en 2020, en utilisant le modèle théorique étudié à la Partie A.
- Quel sera le nombre d'habitants de la ville au 1er janvier 2020 ?
- A partir de quelle année la population de cette ville dépassera-t-elle 200 000 habitants ?
Corrigé
Solution rédigée par Paki demographie-suite-geometrique