Démographie : utilisation d’une suite annexe

Au 1er janvier 2005, une ville en pleine expansion avait une population de 100 000 habitants.
Un bureau d’étude fait l’hypothèse qu’à partir du 1er janvier 2005 :

• le nombre d’habitants de la ville augmente chaque année de 5% du fait des naissances et des décès;
• du fait des mouvements migratoires, 4 000 personnes supplémentaires viennent s’installer chaque année dans cette ville.

Partie A : Etude théorique

Pour tout entier naturel n, on note u_{n} le nombre d’habitants de cette ville au 1er janvier de l’année 2005+n.
Ainsi, u_{0}=100 000.

1. Calculer u_{1} et u_{2}.
2. Justifier que, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=1,05u_{n}+ 4 000.
3. Pour tout entier naturel n, on pose v_{n}=u_{n}+80 000.
   1. Calculer v_{0}.
   2. Montrer que \left(v_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}} est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
   3. Exprimer v_{n} en fonction de n. En déduire que u_{n}=180 000\times 1,05^{n}-80 000.
   4. Calculer la limite de la suite \left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}.

Partie B

Le but de cette partie est de prévoir l’évolution de la population jusqu’en 2020, en utilisant le modèle théorique étudié à la Partie A.

1. Quel sera le nombre d’habitants de la ville au 1er janvier 2020 ?
2. A partir de quelle année la population de cette ville dépassera-t-elle 200 000 habitants ?