Maths-cours

Cours & exercices de mathématiques

  • Troisième
  • Seconde
  • Première
  • Terminale
  • Tle Complément.
  • Tle Expert
  • Quiz
  • 3ème
  • 2nde
  • 1ère
  • Tle
  • Tle Comp
  • Tle XP
  • Quiz

Obsolète

moyenExercice corrigé

Courbe et tangentes

Soit une fonction f définie par une formule du type :
f\left(x\right)=a+ \frac{bx+c}{x^{2}+2x+3}.
et soit \mathscr C sa courbe représentative.
Déterminer a, b et c pour que :

  • la courbe \mathscr C passe par le point A\left(1,0\right)
  • la tangente à \mathscr C en A ait pour coefficient directeur 1
  • la tangente à \mathscr C au point d'abscisse 3 soit parallèle à l'axe des abscisses.

Corrigé

  1. La courbe \mathscr C passe par le point A\left(1,0\right) :
    En remplaçant x par 1 et y par 0 dans l'équation de la courbe y=a+ \frac{bx+c}{x^{2}+2x+3}, on obtient:

    Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul.

    a+\frac{b+c}{6}=0
    \frac{6a+b+c}{6}=0
    6a+b+c=0

  2. La tangente à \mathscr C en A a pour coefficient directeur 1 si et seulement si f^{\prime}\left(1\right)=1
    La dérivée de la fonction x\mapsto a est nulle; pour dériver le quotient on pose :

    Pour calculer f^{\prime}\left(1\right) on calcule f^{\prime}\left(x\right) puis on remplace x par 1.

    u\left(x\right)=bx+c donc u^{\prime}\left(x\right)=b
    v\left(x\right)=x^{2}+2x+3 donc v^{\prime}\left(x\right)=2x+2

    Donc :
    f^{\prime}\left(x\right)=\frac{u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)-u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)}{v\left(x\right)^{2}}=\frac{b\left(x^{2}+2x+3\right)-\left(bx+c\right)\left(2x+2\right)}{\left(x^{2}+2x+3\right)^{2}}
    f^{\prime}\left(x\right)=\frac{-bx^{2}-2cx+3b-2c}{\left(x^{2}+2x+3\right)^{2}}
    donc:
    f^{\prime}\left(1\right)=\frac{-b-2c+3b-2c}{36}
    L'égalité f^{\prime}\left(1\right)=1 se traduit par :
    \frac{-b-2c+3b-2c}{36}=1
    2b-4c=36
    b-2c=18

  3. La tangente à \mathscr C_f au point d'abscisse a est "horizontale" si et seulement si f^{\prime}\left(a\right)=0.

    La tangente au point d'abscisse 3 est parallèle à l'axe des abscisses si et seulement si f^{\prime}\left(3\right)=0 soit :
    \frac{-9b-6c+3b-2c}{18^{2}}=0
    -6b-8c=0
    3b+4c=0

  4. On doit donc résoudre le système :
    \left(S\right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6a+b+c=0 \\ b-2c=18 \\ 3b+4c=0 \end{matrix}\right.
    De la seconde équation on tire b=18+2c et on remplace b par 18+2c dans les autres équations :
    \left(S\right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6a+\left(18+2c\right)+c=0 \\ b=18+2c \\ 3\left(18+2c\right)+4c=0 \end{matrix}\right.
    \phantom{\left(S\right)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b=18+2c \\ 10c+54=0 \\ 6a+3c+18=0 \end{matrix}\right.
    \phantom{\left(S\right)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c=-5,4 \\ b=18-2\times 5,4 \\ a=\frac{1}{6}\left(-18 -3\times 5,4\right) \end{matrix}\right.

On trouve donc :
a=-0,3
b=7,2
c=-5,4

En conclusion :
f\left(x\right)=-0,3+\frac{7,2x-5,4}{x^{2}+2x+3}

  Signaler une erreur

Dans ce chapitre...

Cours

  • Dérivées en Première ES et L

Exercices

  • moyenCoût marginal

VOIR AUSSI...

  • tableau de signe
  • loi de probabilité
  • fonction trigonométrique
  • suite géométrique
  • théorème de thalès
  • polynôme second degré
  • limites
  • fonction affine
  • théorème de pythagore
  • fonction exponentielle
  • division euclidienne
  • trigonométrie
  • python en seconde
  • fonction paire
  • loi normale
  • algorithme de dijkstra
  • tableau de variation
  • fonction dérivée

© 2021 - Maths-cours.fr - Nous contacter

Nous utilisons des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. Si vous continuez à utiliser ce dernier, nous considérerons que vous acceptez l'utilisation des cookies.Ok