Courbe et tangentes

Corrigé

1. La courbe \mathscr C passe par le point A\left(1,0\right) :
   En remplaçant x par 1 et y par 0 dans l’équation de la courbe y=a+ \frac{bx+c}{x^{2}+2x+3}, on obtient:
   Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul.

   a+\frac{b+c}{6}=0
   \frac{6a+b+c}{6}=0
   6a+b+c=0

2. La tangente à \mathscr C en A a pour coefficient directeur 1 si et seulement si f^{\prime}\left(1\right)=1
   La dérivée de la fonction x\mapsto a est nulle; pour dériver le quotient on pose :
   Pour calculer f^{\prime}\left(1\right) on calcule f^{\prime}\left(x\right) puis on remplace x par 1.

   u\left(x\right)=bx+c donc u^{\prime}\left(x\right)=b
   v\left(x\right)=x^{2}+2x+3 donc v^{\prime}\left(x\right)=2x+2

   Donc :
   f^{\prime}\left(x\right)=\frac{u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)-u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)}{v\left(x\right)^{2}}=\frac{b\left(x^{2}+2x+3\right)-\left(bx+c\right)\left(2x+2\right)}{\left(x^{2}+2x+3\right)^{2}}
   f^{\prime}\left(x\right)=\frac{-bx^{2}-2cx+3b-2c}{\left(x^{2}+2x+3\right)^{2}}
   donc:
   f^{\prime}\left(1\right)=\frac{-b-2c+3b-2c}{36}
   L’égalité f^{\prime}\left(1\right)=1 se traduit par :
   \frac{-b-2c+3b-2c}{36}=1
   2b-4c=36
   b-2c=18

3. La tangente à \mathscr C_f au point d’abscisse a est “horizontale” si et seulement si f^{\prime}\left(a\right)=0.

   La tangente au point d’abscisse 3 est parallèle à l’axe des abscisses si et seulement si f^{\prime}\left(3\right)=0 soit :
   \frac{-9b-6c+3b-2c}{18^{2}}=0
   -6b-8c=0
   3b+4c=0

4. On doit donc résoudre le système :
   \left(S\right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6a+b+c=0 \\ b-2c=18 \\ 3b+4c=0 \end{matrix}\right.
   De la seconde équation on tire b=18+2c et on remplace b par 18+2c dans les autres équations :
   \left(S\right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6a+\left(18+2c\right)+c=0 \\ b=18+2c \\ 3\left(18+2c\right)+4c=0 \end{matrix}\right.
   \phantom{\left(S\right)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b=18+2c \\ 10c+54=0 \\ 6a+3c+18=0 \end{matrix}\right.
   \phantom{\left(S\right)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c=-5,4 \\ b=18-2\times 5,4 \\ a=\frac{1}{6}\left(-18 -3\times 5,4\right) \end{matrix}\right.

On trouve donc :
a=-0,3
b=7,2
c=-5,4

En conclusion :
f\left(x\right)=-0,3+\frac{7,2x-5,4}{x^{2}+2x+3}