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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Courbe et tangentes

Soit une fonction ff définie par une formule du type :

f(x)=a+bx+cx2+2x+3f\left(x\right)=a+ \frac{bx+c}{x^{2}+2x+3}.

et soit C\mathscr C sa courbe représentative.

Déterminer aa, bb et cc pour que :

Corrigé

  1. La courbe C\mathscr C passe par le point A(1,0)A\left(1,0\right) :

    En remplaçant xx par 1 et yy par 0 dans l'équation de la courbe y=a+bx+cx2+2x+3y=a+ \frac{bx+c}{x^{2}+2x+3}, on obtient:

    Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul.

    a+b+c6=0a+\frac{b+c}{6}=0

    6a+b+c6=0\frac{6a+b+c}{6}=0

    6a+b+c=06a+b+c=0

  2. La tangente à C\mathscr C en AA a pour coefficient directeur 11 si et seulement si f(1)=1f^{\prime}\left(1\right)=1

    La dérivée de la fonction xax\mapsto a est nulle; pour dériver le quotient on pose :

    Pour calculer f(1)f^{\prime}\left(1\right) on calcule f(x)f^{\prime}\left(x\right) puis on remplace xx par 11.

    u(x)=bx+cu\left(x\right)=bx+c donc u(x)=bu^{\prime}\left(x\right)=b

    v(x)=x2+2x+3v\left(x\right)=x^{2}+2x+3 donc v(x)=2x+2v^{\prime}\left(x\right)=2x+2

    Donc :

    f(x)=u(x)v(x)u(x)v(x)v(x)2=b(x2+2x+3)(bx+c)(2x+2)(x2+2x+3)2f^{\prime}\left(x\right)=\frac{u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right) - u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)}{v\left(x\right)^{2}}=\frac{b\left(x^{2}+2x+3\right) - \left(bx+c\right)\left(2x+2\right)}{\left(x^{2}+2x+3\right)^{2}}

    f(x)=bx22cx+3b2c(x2+2x+3)2f^{\prime}\left(x\right)=\frac{ - bx^{2} - 2cx+3b - 2c}{\left(x^{2}+2x+3\right)^{2}}

    donc:

    f(1)=b2c+3b2c36f^{\prime}\left(1\right)=\frac{ - b - 2c+3b - 2c}{36}

    L'égalité f(1)=1f^{\prime}\left(1\right)=1 se traduit par :

    b2c+3b2c36=1\frac{ - b - 2c+3b - 2c}{36}=1

    2b4c=362b - 4c=36

    b2c=18b - 2c=18

  3. La tangente à Cf\mathscr C_f au point d'abscisse aa est "horizontale" si et seulement si f(a)=0f^{\prime}\left(a\right)=0.

    La tangente au point d'abscisse 3 est parallèle à l'axe des abscisses si et seulement si f(3)=0f^{\prime}\left(3\right)=0 soit :

    9b6c+3b2c182=0\frac{ - 9b - 6c+3b - 2c}{18^{2}}=0

    6b8c=0 - 6b - 8c=0

    3b+4c=03b+4c=0

  4. On doit donc résoudre le système :

    (S){6a+b+c=0b2c=183b+4c=0\left(S\right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6a+b+c=0 \\ b - 2c=18 \\ 3b+4c=0 \end{matrix}\right.

    De la seconde équation on tire b=18+2cb=18+2c et on remplace bb par 18+2c18+2c dans les autres équations :

    (S){6a+(18+2c)+c=0b=18+2c3(18+2c)+4c=0\left(S\right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6a+\left(18+2c\right)+c=0 \\ b=18+2c \\ 3\left(18+2c\right)+4c=0 \end{matrix}\right.

    (S){b=18+2c10c+54=06a+3c+18=0\phantom{\left(S\right)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b=18+2c \\ 10c+54=0 \\ 6a+3c+18=0 \end{matrix}\right.

    (S){c=5,4b=182×5,4a=16(183×5,4)\phantom{\left(S\right)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c= - 5,4 \\ b=18 - 2\times 5,4 \\ a=\frac{1}{6}\left( - 18 - 3\times 5,4\right) \end{matrix}\right.

On trouve donc :

a=0,3a= - 0,3

b=7,2b=7,2

c=5,4c= - 5,4

En conclusion :

f(x)=0,3+7,2x5,4x2+2x+3f\left(x\right)= - 0,3+\frac{7,2x - 5,4}{x^{2}+2x+3}

Courbe et tangentes