Méthode
On cherche à calculer une limite du type \lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}
C'est une forme indéterminée du type «\frac{0}{0}»
Pour lever l'indétermination, on utilise la définition du nombre dérivé qui donne :
\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=f^{\prime}\left(a\right)
Il suffit donc de calculer f^{\prime}\left(x\right) puis de remplacer x par a pour obtenir f^{\prime}\left(a\right)
Exemple 1
Soit n un entier strictement positif.
Calculer \lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{x^{n}-1}{x-1}.
On pose f\left(x\right)=x^{n}.
On a alors f\left(1\right)=1
La limite cherchée correspond donc à \lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1} et vaut par conséquent f^{\prime}\left(1\right).
Or f^{\prime}\left(x\right)=nx^{n-1} dnc f^{\prime}\left(1\right)=n\times 1^{n-1}=n
En conclusion : \lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{x^{n}-1}{x-1}=n
Exemple 2
On veut calculer \lim\limits_{x\rightarrow 2} \frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}
On a une forme indéterminée du type «\frac{0}{0}»
Posons f\left(x\right)=\sqrt{x+2} pour x\geqslant -2
On a f\left(2\right)=\sqrt{4}=2
La limite est cherchée est donc :
\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=f^{\prime}\left(2\right)
Pour calculer f^{\prime} on applique la formule \left(\sqrt{u}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2\sqrt{u}} :
f^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x+2}}
Donc f^{\prime}\left(2\right)=\frac{1}{4}
Finalement : \lim\limits_{x\rightarrow 2} \frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}=\frac{1}{4}
Exemple 3
(Cet exemple suppose que l'on a étudié le chapitre sur les fonctions trigonométriques)
On veut calculer \lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\cos x-1}{x}
On a, là encore une forme indéterminée du type «\frac{0}{0}»
On pose f\left(x\right)=\cos x
La limite est cherchée est alors :
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=f^{\prime}\left(0\right)=-\sin 0=0
