Calculer une limite à l'aide du nombre dérivé
Méthode
On cherche à calculer une limite du type x→alimx−af(x)−f(a)
C'est une forme indéterminée du type «00»
Pour lever l'indétermination, on utilise la définition du nombre dérivé qui donne :
x→alimx−af(x)−f(a)=f′(a)
Il suffit donc de calculer f′(x) puis de remplacer x par a pour obtenir f′(a)
Exemple 1
Soit n un entier strictement positif.
Calculer x→1limx−1xn−1.
On pose f(x)=xn.
On a alors f(1)=1
La limite cherchée correspond donc à x→1limx−1f(x)−f(1) et vaut par conséquent f′(1).
Or f′(x)=nxn−1 dnc f′(1)=n×1n−1=n
En conclusion : x→1limx−1xn−1=n
Exemple 2
On veut calculer x→2limx−2√x+2−2
On a une forme indéterminée du type «00»
Posons f(x)=√x+2 pour x⩾−2
On a f(2)=√4=2
La limite est cherchée est donc :
x→2limx−2f(x)−f(2)=f′(2)
Pour calculer f′ on applique la formule (√u)′=2√uu′ :
f′(x)=2√x+21
Donc f′(2)=41
Finalement : x→2limx−2√x+2−2=41
Exemple 3
(Cet exemple suppose que l'on a étudié le chapitre sur les fonctions trigonométriques)
On veut calculer x→0limxcosx−1
On a, là encore une forme indéterminée du type «00»
On pose f(x)=cosx
La limite est cherchée est alors :
x→0limx−0f(x)−f(0)=f′(0)=−sin0=0
