[ROC] Limites de la fonction exponentielle

Prérequis : La fonction exponentielle (notée $\text{exp}$ ou $x\mapsto e^{x}$ ) est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que :

$\text{exp}^{\prime}=\text{exp}$

$\text{exp}\left(0\right)=1$

La fonction exponentielle est strictement croissante et strictement positive sur $\mathbb{R}$ .

Pour tous réels $a$ et $b$ :

L'objectif de cet exercice est de démontrer les principaux résultats concernant les limites de la fonction exponentielle.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f\left(x\right)=e^{x} - x$ .

Etudier le sens de variation de la fonction $f$ .
En déduire que pour tout réel $x$ : $e^{x} > x$ .

Montrer que $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }e^{x}=+\infty$
A l'aide de la question précédente, montrer que $\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }e^{x}=0$

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g\left(x\right)=e^{x} - \frac{x^{2}}{2}$ .

Etudier le sens de variation de la fonction $g$ .

Montrer que $g\left(x\right) > 0$ pour tout $x > 0$ .
En déduire la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de $\frac{e^{x}}{x}$ .
Montrer que $\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x e^{x}=0$ .

Corrigé

$f^{\prime}\left(x\right)=e^{x} - 1$

$f^{\prime}\left(x\right) > 0 \Leftrightarrow e^{x} - 1 > 0 \Leftrightarrow e^{x} > 1 \Leftrightarrow e^{x} > e^{0} \Leftrightarrow x > 0$ car le fonction exponentielle est strictement croissante.

Par ailleurs $f\left(0\right)=e^{0} - 0=1$ .

On en déduit le tableau de variation de $f$

$Exercice$
Le tableau précédent montre que pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $f\left(x\right) > 0$ , c'est à dire $e^{x} > x$ .

Or $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x=+\infty$ . Donc d'après le théorème de comparaison pour les limites infinies : $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }e^{x}=+\infty$
On pose $X= - x$ . Lorsque $x\rightarrow - \infty$ , $X\rightarrow +\infty$ et :

$\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }e^{x}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }e^{ - X}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\frac{1}{e^{X}}$

Or d'après la question précédente $\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }e^{X}=+\infty$ donc par quotient :

$\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\frac{1}{e^{X}}=0$

En conclusion : $\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }e^{x}=0$

$g^{\prime}\left(x\right)=e^{x} - x=f\left(x\right) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

Donc la fonction $g$ est croissante sur $\mathbb{R}$

On en déduit que pour $x > 0$ , $g\left(x\right) > g\left(0\right)=1 > 0$
Pour $x$ strictement positif $g\left(x\right) > 0$ donc $e^{x} - \frac{x^{2}}{2} > 0$ donc $e^{x} > \frac{x^{2}}{2}$

Par conséquent : $\frac{e^{x}}{x} > \frac{x}{2}$ et comme $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{x}{2}=+\infty$ , d'après le théorème de comparaison pour les limites infinies : $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{e^{x}}{x}=+\infty$
On pose, là encore, $X= - x$ :

$\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x e^{x}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty } - X e^{ - X}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty } - \frac{X}{e^{X}}$

D'après la question précédente $\frac{e^{X}}{X}$ tend vers $+\infty$ lorsque $X\rightarrow +\infty$ donc $\frac{X}{e^{X}}$ (qui est son inverse) tend vers $0$ .

Donc $\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x e^{x}= - 0=0$ .

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