Exercice corrigéPrérequis :
La fonction exponentielle (notée \text{exp} ou x\mapsto e^{x}) est l'unique fonction dérivable sur \mathbb{R} telle que :
\text{exp}^{\prime}=\text{exp}
\text{exp}\left(0\right)=1
La fonction exponentielle est strictement croissante et strictement positive sur \mathbb{R}.
Pour tous réels a et b :
- e^{a+b}=e^{a}\times e^{b}
- e^{-a}=\frac{1}{e^{a}}
- e^{a-b}=\frac{e^{a}}{e^{b}}
L'objectif de cet exercice est de démontrer les principaux résultats concernant les limites de la fonction exponentielle.
Partie A
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=e^{x}-x.
- Etudier le sens de variation de la fonction f.
- En déduire que pour tout réel x : e^{x} > x.
Montrer que \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }e^{x}=+\infty - A l'aide de la question précédente, montrer que \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }e^{x}=0
Partie B
Soit la fonction g définie sur \mathbb{R} par g\left(x\right)=e^{x}-\frac{x^{2}}{2}.
- Etudier le sens de variation de la fonction g.
Montrer que g\left(x\right) > 0 pour tout x > 0. - En déduire la limite quand x tend vers +\infty de \frac{e^{x}}{x}.
- Montrer que \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }x e^{x}=0.
Corrigé
Partie A
- f^{\prime}\left(x\right)=e^{x}-1
f^{\prime}\left(x\right) > 0 \Leftrightarrow e^{x}-1 > 0 \Leftrightarrow e^{x} > 1 \Leftrightarrow e^{x} > e^{0} \Leftrightarrow x > 0 car le fonction exponentielle est strictement croissante.
Par ailleurs f\left(0\right)=e^{0}-0=1.
On en déduit le tableau de variation de f
- Le tableau précédent montre que pour tout x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) > 0, c'est à dire e^{x} > x.
Or \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x=+\infty . Donc d'après le théorème de comparaison pour les limites infinies : \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }e^{x}=+\infty - On pose X=-x. Lorsque x\rightarrow -\infty , X\rightarrow +\infty et :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }e^{x}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }e^{-X}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\frac{1}{e^{X}}
Or d'après la question précédente \lim\limits_{X\rightarrow +\infty }e^{X}=+\infty donc par quotient :
\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\frac{1}{e^{X}}=0
En conclusion : \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }e^{x}=0
Partie B
- g^{\prime}\left(x\right)=e^{x}-x=f\left(x\right) > 0 pour tout x \in \mathbb{R}.
Donc la fonction g est croissante sur \mathbb{R}
On en déduit que pour x > 0, g\left(x\right) > g\left(0\right)=1 > 0 - Pour x strictement positif g\left(x\right) > 0 donc e^{x}-\frac{x^{2}}{2} > 0 donc e^{x} > \frac{x^{2}}{2}
Par conséquent : \frac{e^{x}}{x} > \frac{x}{2} et comme \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{x}{2}=+\infty , d'après le théorème de comparaison pour les limites infinies : \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{e^{x}}{x}=+\infty - On pose, là encore, X=-x :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }x e^{x}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }-X e^{-X}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }-\frac{X}{e^{X}}
D'après la question précédente \frac{e^{X}}{X} tend vers +\infty lorsque X\rightarrow +\infty donc \frac{X}{e^{X}} (qui est son inverse) tend vers 0.
Donc \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }x e^{x}=-0=0.