Maths-cours

Cours & exercices de mathématiques

  • Troisième
  • Seconde
  • Première ES/L
  • Première S
  • Terminale ES/L
  • Terminale S
  • Quiz
  • 3ème
  • 2nde
  • 1ES/L
  • 1S
  • TES/L
  • TS

Terminale S

difficulté moyenneExercice corrigé

Calcul des primitives d’une fonction rationnelle

On considère la fonction f définie sur \left]1 ; +\infty \right[ par :

f\left(x\right)=\frac{x^{3}-x^{2}-x+3}{\left(x-1\right)^{2}}

  1. Déterminer les réels a, b, c tels que :

    f\left(x\right)=ax+b+\frac{c}{\left(x-1\right)^{2}}

  2. En déduire l’ensemble des primitives de la fonction f.

Corrigé

  1. ax+b+\frac{c}{\left(x-1\right)^{2}}=\frac{\left(ax+b\right)\left(x-1\right)^{2}+c}{\left(x-1\right)^{2}}=\frac{\left(ax+b\right)\left(x^{2}-2x+1\right)+c}{\left(x-1\right)^{2}}
    ax+b+\frac{c}{\left(x-1\right)^{2}}=\frac{ax^{3}-2ax^{2}+ax+bx^{2}-2bx+b+c}{\left(x-1\right)^{2}}
    ax+b+\frac{c}{\left(x-1\right)^{2}}=\frac{ax^{3}+\left(b-2a\right)x^{2}+\left(a-2b\right)x+\left(b+c\right)}{\left(x-1\right)^{2}}
    En identifiant les coefficients du polynôme au numérateur on obtient :
    ♦  a=1
    ♦  b-2a=-1
    ♦  a-2b=-1
    ♦  b+c=3
    c’est à dire a=1, b=1, c=2.
    Par conséquent :

    f\left(x\right)=x+1+\frac{2}{\left(x-1\right)^{2}}

  2. x\mapsto \frac{1}{\left(x-1\right)^{2}} est de la forme x\mapsto \frac{u^{\prime}\left(x\right)}{u\left(x\right)^{2}} dont une primitive est : x\mapsto -\frac{1}{u\left(x\right)}
    Les primitives de f sur \left]1 ; +\infty \right[ sont donc les fonctions F définies par :

    F\left(x\right)=\frac{x^{2}}{2}+x-\frac{2}{x-1}+k où k \in \mathbb{R}

  Signaler une erreur

Dans ce chapitre...

Cours

  • Primitives et intégrales

Exercices

  • difficulté moyenne Calcul d’une intégrale avec exponentielle
  • difficulté moyenne Intégrales – Bac S Centres étrangers 2013
  • difficulté moyenne [Bac] Fonction ln – Primitives – Intégrales – Aires
  • difficulté moyenne Exponentielle et intégrale
  • assez facile Calcul d’intégrales (simples)
  • difficulté moyenne Intégrales Encadrements – Bac S Amérique du Nord 2008
  • difficulté moyenne Primitive d’une fonction rationnelle
  • difficulté moyenne Encadrement et intégrales
  • difficulté moyenne [Bac] Suites et intégrales
  • assez facile Calcul de primitives
  • difficulté moyenne Fonctions Calculs d’aire – Bac S Pondichéry 2011
  • difficile Intégrales de Wallis
  • difficulté moyenne [Bac] Etude de fonction et calcul d’aire

VOIR AUSSI…

Derniers quiz

  1. [1esl]Pourcentages (moyen)
  2. [Ts]Limites de fonctions (moyen)
  3. [1s]Second degré (facile)
  4. [2nde]Les fonctions (facile)
  5. [Ts]Les suites (facile)

© 2019 - Maths-cours.fr - Nous contacter

Nous utilisons des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. Si vous continuez à utiliser ce dernier, nous considérerons que vous acceptez l'utilisation des cookies.Ok