Calcul des primitives d'une fonction rationnelle

Corrigé

1. ax+b+\frac{c}{\left(x-1\right)^{2}}=\frac{\left(ax+b\right)\left(x-1\right)^{2}+c}{\left(x-1\right)^{2}}=\frac{\left(ax+b\right)\left(x^{2}-2x+1\right)+c}{\left(x-1\right)^{2}}
   ax+b+\frac{c}{\left(x-1\right)^{2}}=\frac{ax^{3}-2ax^{2}+ax+bx^{2}-2bx+b+c}{\left(x-1\right)^{2}}
   ax+b+\frac{c}{\left(x-1\right)^{2}}=\frac{ax^{3}+\left(b-2a\right)x^{2}+\left(a-2b\right)x+\left(b+c\right)}{\left(x-1\right)^{2}}
   En identifiant les coefficients du polynôme au numérateur on obtient :
   ♦  a=1
   ♦  b-2a=-1
   ♦  a-2b=-1
   ♦  b+c=3
   c'est à dire a=1, b=1, c=2.
   Par conséquent :

   f\left(x\right)=x+1+\frac{2}{\left(x-1\right)^{2}}

2. x\mapsto \frac{1}{\left(x-1\right)^{2}} est de la forme x\mapsto \frac{u^{\prime}\left(x\right)}{u\left(x\right)^{2}} dont une primitive est : x\mapsto -\frac{1}{u\left(x\right)}
   Les primitives de f sur \left]1 ; +\infty \right[ sont donc les fonctions F définies par :

   F\left(x\right)=\frac{x^{2}}{2}+x-\frac{2}{x-1}+k où k \in \mathbb{R}