Primitives d’une fonction rationnelle (par décomposition)
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteObjectif travaillé
On considère la fonction $ f $ définie sur $ \left]1 ; +\infty \right[ $ par :
Déterminer les réels $ a $, $ b $, $ c $ tels que :
$ f\left(x\right)=ax+b+\dfrac{c}{\left(x - 1\right)^{2}} $- En déduire l'ensemble des primitives de la fonction $ f $.
Corrigé
$ ax+b+\dfrac{c}{\left(x - 1\right)^{2}}=\dfrac{\left(ax+b\right)\left(x - 1\right)^{2}+c}{\left(x - 1\right)^{2}}=\dfrac{\left(ax+b\right)\left(x^{2} - 2x+1\right)+c}{\left(x - 1\right)^{2}} $
$ ax+b+\dfrac{c}{\left(x - 1\right)^{2}}=\dfrac{ax^{3} - 2ax^{2}+ax+bx^{2} - 2bx+b+c}{\left(x - 1\right)^{2}} $
$ ax+b+\dfrac{c}{\left(x - 1\right)^{2}}=\dfrac{ax^{3}+\left(b - 2a\right)x^{2}+\left(a - 2b\right)x+\left(b+c\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} $
En identifiant les coefficients du polynôme au numérateur on obtient :
- $ a=1 $
- $ b - 2a= - 1 $
- $ a - 2b= - 1 $
- $ b+c=3 $
c'est à dire $ a=1, b=1, c=2 $.
Par conséquent :
$ f\left(x\right)=x+1+\dfrac{2}{\left(x - 1\right)^{2}} $$ x\mapsto \dfrac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} $ est de la forme $ x\mapsto \dfrac{u^{\prime}\left(x\right)}{u\left(x\right)^{2}} $ dont une primitive est : $ x\mapsto - \dfrac{1}{u\left(x\right)} $
Les primitives de $ f $ sur $ \left]1 ; +\infty \right[ $ sont donc les fonctions $ F $ définies par :
$ F\left(x\right)=\dfrac{x^{2}}{2}+x - \dfrac{2}{x - 1}+k $où
$ k \in \mathbb{R} $