Exercice corrigéOn considère la fonction f définie sur \left]1 ; +\infty \right[ par :
f\left(x\right)=\frac{x^{3}-x^{2}-x+3}{\left(x-1\right)^{2}}
- Déterminer les réels a, b, c tels que :
f\left(x\right)=ax+b+\frac{c}{\left(x-1\right)^{2}}
- En déduire l'ensemble des primitives de la fonction f.
Corrigé
- ax+b+\frac{c}{\left(x-1\right)^{2}}=\frac{\left(ax+b\right)\left(x-1\right)^{2}+c}{\left(x-1\right)^{2}}=\frac{\left(ax+b\right)\left(x^{2}-2x+1\right)+c}{\left(x-1\right)^{2}}
ax+b+\frac{c}{\left(x-1\right)^{2}}=\frac{ax^{3}-2ax^{2}+ax+bx^{2}-2bx+b+c}{\left(x-1\right)^{2}}
ax+b+\frac{c}{\left(x-1\right)^{2}}=\frac{ax^{3}+\left(b-2a\right)x^{2}+\left(a-2b\right)x+\left(b+c\right)}{\left(x-1\right)^{2}}
En identifiant les coefficients du polynôme au numérateur on obtient :
♦ a=1
♦ b-2a=-1
♦ a-2b=-1
♦ b+c=3
c'est à dire a=1, b=1, c=2.
Par conséquent :f\left(x\right)=x+1+\frac{2}{\left(x-1\right)^{2}}
- x\mapsto \frac{1}{\left(x-1\right)^{2}} est de la forme x\mapsto \frac{u^{\prime}\left(x\right)}{u\left(x\right)^{2}} dont une primitive est : x\mapsto -\frac{1}{u\left(x\right)}
Les primitives de f sur \left]1 ; +\infty \right[ sont donc les fonctions F définies par :F\left(x\right)=\frac{x^{2}}{2}+x-\frac{2}{x-1}+k où k \in \mathbb{R}
